ボンフェローニの不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 23:24 UTC 版)
「ブールの不等式」の記事における「ボンフェローニの不等式」の解説
ブールの不等式は事象の有限和の確率の上界と下界を見つけるために一般化することができる。これらの境界はカルロ・エミリオ・ボンフェローニにちなみボンフェローニの不等式と呼ばれる（Bonferroni (1936)）。 以下を定義する。 S 1 := ∑ i = 1 n P ( A i ) {\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})} S 2 := ∑ 1 ≤ i < j ≤ n P ( A i ∩ A j ) {\displaystyle S_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i}\cap A_{j})} {3, ..., n} 中の全ての整数k について S k := ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n P ( A i 1 ∩ ⋯ ∩ A i k ) {\displaystyle S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})} すると、 {1, ..., n} 中の奇数k について P ( ⋃ i = 1 n A i ) ≤ ∑ j = 1 k ( − 1 ) j − 1 S j {\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}} {2, ..., n} 中の偶数kについて P ( ⋃ i = 1 n A i ) ≥ ∑ j = 1 k ( − 1 ) j − 1 S j {\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}} となる。 ブールの不等式はk = 1の場合である。k = n の時は等号が成立し、得られる恒等式は包除原理である。
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