プランクの法則による計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/05 20:21 UTC 版)
「シュテファン＝ボルツマンの法則」の記事における「プランクの法則による計算」の解説
プランクの法則によれば、振動数 ν で表した放射発散度のスペクトルは I ( ν , T ) = 2 π h c 2 ν 3 e h ν / k T − 1 {\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2\pi h}{c^{2}}}{\frac {\nu ^{3}}{\mathrm {e} ^{h\nu /kT}-1}}} で与えられる。これは f ( x ) = 1 e x − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\mathrm {e} ^{x}-1}}} の形をしている。放射定数は c 1 = 2 π h c 2 , c 2 = h c k {\displaystyle c_{1}=2\pi hc^{2},~c_{2}={\frac {hc}{k}}} であり、シュテファン=ボルツマン定数は σ = 2 π k 4 c 2 h 3 ∫ 0 ∞ x 3 e x − 1 d x {\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi k^{4}}{c^{2}h^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}\ }{\mathrm {e} ^{x}-1}}dx} となる。 積分はゼータ関数の特殊値の知識を用いて計算される。ガンマ関数を用いたリーマンゼータ関数の定義式 ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ u s − 1 e u − 1 d u {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{s-1}}{\mathrm {e} ^{u}-1}}du} により、この積分は ∫ 0 ∞ x 3 e x − 1 d x = Γ ( 4 ) ζ ( 4 ) = 6 ⋅ π 4 90 = π 4 15 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}dx=\Gamma (4)\zeta (4)=6\cdot {\frac {\pi ^{4}}{90}}={\frac {\pi ^{4}}{15}}} となる。 従って、シュテファン=ボルツマン定数は σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 {\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}} と計算される。
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