パンルヴェ方程式

ウィキペディア

パンルヴェ方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/09 09:33 UTC 版)

数学においてパンルヴェ方程式（パンルヴェほうていしき、Painlevé equations）は、（動く特異点が極であるという）パンルヴェ性 (Painlevé property) を備えた特定の種類の二階非線型の複素常微分方程式である。パンルヴェ方程式は一般には初等関数の範囲で解くことはできず、パンルヴェ方程式の解としてパンルヴェ超越関数 (Painlevé transcendents) と呼ばれる複素変数の特殊関数が定義される。名の由来は後にフランス首相の座に就くポール・パンルヴェの著した論文 (Paul Painlevé 1900, 1902) から。

歴史

パンルヴェ超越関数の起源は、常微分微分方程式の解としてしばしば現れる特殊関数の研究および、線型常微分方程式の等モノドロミー変形の研究にある。たとえば楕円関数などは特殊関数のクラスのなかでも特に有用なものの一つである。パンルヴェ超越関数は、方程式の特異点がパンルヴェ性を満たす二階常微分方程式の解として定められる。ここで、パンルヴェ性とは「動く特異点は極に限る」というものである。線型常微分方程式はつねにパンルヴェ性を持つが、非線型方程式でパンルヴェ性を持つものは稀である。アンリ・ポアンカレとラザルス・フックスはパンルヴェ性を持つ一階方程式が、必ずワイエルシュトラス方程式かリッカチ方程式に変形できることを示した（これらの方程式は求積法と既知の特殊関数によって明示的に解ける）。エミール・ピカールは一階よりも高階の動く真性特異点をもつ方程式に着目して、パンルヴェ性をもつ新たな例を探ろうとしたが失敗に終わっている（二階より高階の方程式では、解が動く自然境界を持ち得る）。1900年頃に、ポール・パンルヴェは動く特異点を持たない二階常微分方程式を研究していて、そのような方程式で有理関数 R を用いて

$y''=R(y',y,t)$