ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/27 07:29 UTC 版)
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F を q 個の元を持つある有限体とし、Fs を [Fs:F] = s であるような体とする。すなわち F 上のベクトル空間 Fs の次元は s である。 α {\displaystyle \alpha } を F s {\displaystyle F_{s}} のある元とする。 χ {\displaystyle \chi } を F から複素数への乗法的指標 (数学)とする。 N F s / F ( α ) {\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha )} を、 F s {\displaystyle F_{s}} から F {\displaystyle F} へのノルムで、次で定められるものとする。 N F s / F ( α ) := α ⋅ α q ⋯ α q s − 1 . {\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,} 今 χ ′ {\displaystyle \chi '} を F s {\displaystyle F_{s}} 上の乗法的指標で、 χ {\displaystyle \chi } と、Fs から F へのノルムの合成で与えられるものとする。すなわち χ ′ ( α ) := χ ( N F s / F ( α ) ) {\displaystyle \chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))} とする。 ψ をある非自明な F の加法的指標とし、 ψ ′ {\displaystyle \psi '} を ψ {\displaystyle \psi } と、Fs から F への跡の合成であるような F s {\displaystyle F_{s}} 上の加法的指標とする。すなわち ψ ′ ( α ) := ψ ( T r F s / F ( α ) ) {\displaystyle \psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))} とする。 今 τ ( χ , ψ ) = ∑ x ∈ F χ ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle \tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)} を F 上のガウス和とし、 τ ( χ ′ , ψ ′ ) {\displaystyle \tau (\chi ',\psi ')} を F s {\displaystyle F_{s}} 上のガウス和とする。 このとき、ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は次で与えられる。 ( − 1 ) s ⋅ τ ( χ , ψ ) s = − τ ( χ ′ , ψ ′ ) . {\displaystyle (-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').}
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