定常集合とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ウィキペディア

索引トップ用語の索引ランキングカテゴリー

定常集合

(ステーショナリー集合から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/12/26 02:48 UTC 版)

数学、特に集合論やモデル理論において定常集合（ていじょうしゅうごう、英: stationary set）という言葉には少なくとも三つの異なる意味がある。:

古典的な意味付け

$\kappa \,$ $\kappa \,$ を非可算な共終数を持つ基数とするとき、部分集合 $S\subset \kappa \,$ $S\subset \kappa \,$ が $\kappa \,$ $\kappa \,$ のいかなるclub集合とも交わるならば、 $S\,$ $S\,$ を $\kappa \,$ $\kappa \,$ 内の定常集合という。定常でない集合は非定常集合という。

$S\,$ $S\,$ が定常で $C\,$ $C\,$ がclubなら、その共通部分 $S\cap C\,$ $S\cap C\,$ はまた定常である。それは、 $D\,$ $D\,$ をclub集合とすると $C\cap D\,$ $C\cap D\,$ はclub(二つのclub集合の共通部分はclub)であり、 $(S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)\,$ $(S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)\,$ は空でない集合となる。ゆえに、 $(S\cap C)\,$ $(S\cap C)\,$ は定常である。

非可算な共終数に制限したのは無意味なものを避けるためである。 $\kappa$ $\kappa$ の共終数が可算であったとして、 $S\subset \kappa$ $S\subset \kappa$ が $\kappa$ $\kappa$ 内で定常であるのは $\kappa \setminus S$ $\kappa \setminus S$ が $\kappa$ $\kappa$ 内で有界であることと同値である。特に、 $\kappa$ $\kappa$ の共終数が $\omega =\aleph _{0}$ $\omega =\aleph _{0}$ であるなら任意の二つの $\kappa$ $\kappa$ の定常集合の共通部分は定常である。

これは $\kappa$ $\kappa$ の共終数が非可算なときは起こらない。実際、 $\kappa$ $\kappa$ を正則基数で $S\subset \kappa$ $S\subset \kappa$ をその中の定常集合とすると、 $S$ $S$ は $\kappa$ $\kappa$ 個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はロバート・ソロヴェイ（英語版）によるもので、 $\kappa$ $\kappa$ が後続型基数のとき、このことはスタニスワフ・ウラムによって、いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。

イェフによる意味付け

$[X]^{\lambda }$ $[X]^{\lambda }$ の部分集合にも定常集合の概念は定義される。ここで、 $[X]^{\lambda }$ $[X]^{\lambda }$ は $[X]^{\lambda }=\{Y\subset X:|Y|=\lambda \}$ $[X]^{\lambda }=\{Y\subset X:|Y|=\lambda \}$ のことである。 $S\subset [X]^{\lambda }$ $S\subset [X]^{\lambda }$ が定常であるとは、前者と同様にSが全てのclub集合と交わることをいう。 $[X]^{\lambda }$ $[X]^{\lambda }$ の部分集合がclubであるとは、 $\subset$ $\subset$ の下で非有界かつ、 $\lambda$ $\lambda$ 以下の長さの鎖の合併の下で閉じていることをいう。この二つの定常集合の概念は一般には異なるが、 $X=\omega _{1},\lambda =\aleph _{0}$ $X=\omega _{1},\lambda =\aleph _{0}$ とすると $S\subset [\omega _{1}]^{\omega }$ $S\subset [\omega _{1}]^{\omega }$ が定常であることと、 $S\cap \omega _{1}$ $S\cap \omega _{1}$ が $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ の中で定常であることは一致する。

フォドアの補題はこの文脈でも同様に流用できる。

一般化された意味付け

三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。この概念はM. Magidor（英語版）, M. Foreman（英語版）, サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。

$X$ $X$ Xを空でない集合とする。 $C\subset {\mathcal {P}}(X)$ $C\subset {\mathcal {P}}(X)$ がclubであるとは、関数 $F:[X]^{<\omega }\to X$ $F:[X]^{<\omega }\to X$ で $C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subset z\}$ $C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subset z\}$ を満たすものが存在することを言う。ここで $[y]^{<\omega }$ $[y]^{<\omega }$ は $y$ $y$ の有限部分集合全体による集合のことである。

$S\subset {\mathcal {P}}(X)$ $S\subset {\mathcal {P}}(X)$ が ${\mathcal {P}}(X)$ ${\mathcal {P}}(X)$ で定常であるとは、Sが ${\mathcal {P}}(X)$ ${\mathcal {P}}(X)$ の全てのclub集合と交わることを言う。

モデル理論との関連を見る。 $M$ $M$ を対象領域を $X$ $X$ とする可算な言語上のストラクチャー、 $F$ $F$ が $M$ $M$ へのスコーレム関数であるとすると、定常集合 $S$ $S$ は $M$ $M$ の初等部分構造をもつ。実際、 $S\subset {\mathcal {P}}(X)$ $S\subset {\mathcal {P}}(X)$ が定常であることは、任意のこのようなストラクチャー $M$ $M$ に対して、 $M$ $M$ の初等部分構造が $S$ $S$ に属することと同値である。