ジェルゴンヌ点

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ジェルゴンヌ点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/01 17:27 UTC 版)

三角形と内接円とジェルゴンヌ点

ジェルゴンヌ点（ジェルゴンヌてん、Gergonne Point）は、三角形上で一意的に定義される点の1つである。ジョセフ・ジェルゴンヌに由来する。

1818年に発行された、Annales de Math（Annales de Gergonne）1818-9 にこの点についての記述がある。

定義と証明

三角形ABCの内接円が辺BC,AC,AB と接する点をそれぞれ X,Y,Z とする。AX,BY,CZ の3つの線の交点がジェルゴンヌ点となる。

円と接線の関係から AY=AZ などが成り立つため、チェバの定理の逆より3本の線が1点で交わることは自明である。

性質

• 内心とド・ロンシャン点を通る直線上にある。この線をソディ線という。
• ナーゲル点と等長共役の関係にある。
• ジェルゴンヌ点と内接円と外接円の内側の相似中心X₅₅は等角共役の関係にある。
• ジェルゴンヌ点の重心座標は以下の式で表される。

  ${\frac {1}{-a+b+c}}:{\frac {1}{a-b+c}}:{\frac {1}{a+b-c}}$