ガウス・ボンネの定理

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ガウス・ボンネの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/28 23:59 UTC 版)

• 数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学、微分位相幾何学 > ガウスの曲面論（英語版） > ガウス・ボンネの定理

ガウス・ボンネの定理^[1](Gauss–Bonnet theorem)は、リーマン計量が定義された曲面における曲率の積分がその曲面のオイラー標数で表せる、という趣旨の定理である。これは曲面の局所的な微分幾何学的構造（曲率）の積分とその曲面の大域的な位相幾何学的構造（オイラー標数）とを結び付ける重要な定理である。

この定理はカール・フリードリヒ・ガウスが1827年に論文^[2]で測地線で囲まれた三角形の場合に対して証明し^[3]、ピエール・オシアン・ボンネが1848年に論文^[4]で一般の曲面に対して定理を示した^[3]。なおジャック・フィリップ・マリー・ビネがボンネとは独立に一般の場合を示していたが、ビネは成果を発表しなかった^[3]。

定理

多角形の場合

定理 (多角形に関するガウス・ボンネの定理^{[注 3]}) ―  Aをn個の頂点を持つ（向きづけられた）多角形にリーマン計量を入れたものとする^{[注 1]}。このとき

${\displaystyle \int _{A}KdV+\int _{\partial A}\kappa ds+\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=2\pi }$

プロジェクト 数学

ポータル 数学

脚注

出典

1. ^ #小林77 p.173.
2. ^ C. F. Gauss『Disquisitiones generales circa superficies curvas』1827年。 
3. ^ ^{a b c} #Wu p.1.
4. ^ O. Bonnet (1848). “Mémoire sur la thé orie géné rale des surfaces”. J. de l’Ecole Poly-technique (Tome 19, Cahier 32): 1-146. 
5. ^ #小林77 p.128.
6. ^ #Berger pp.112,138.
7. ^ #Lee pp.164,167.
8. ^ #Tu p.92.
9. ^ #Abate p.319
10. ^ #Gilkey p.126
11. ^ #Carmo p.131.
12. ^ ^{a b} #Lee p.151.
13. ^ #Carmo p.129
14. ^ #Zhu pp.1-2.
15. ^ Chen L and Rong Y, Linear Time Recognition Algorithms for Topological Invariants in 3D, arXiv:0804.1982, ICPR 2008
16. ^ ^{a b c} #Li p.4.
17. ^ #Li p.17.

注釈

1. ^ すなわちAは2次元円盤と位相同型なC∞級の多様体であり、∂Aは区分的になめらかであり、∂Aがなめらかでない部分を多角形の頂点とみなす。∂Aは区分的になめらかなので、各頂点において右方微分と左方微分が定義でき、（A上のリーマン計量で角度を定義したとき）右方微分と左方微分のなす角を外角と定義する。
2. ^ すなわち、${\displaystyle P(s)}$