カーマイケルの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:35 UTC 版)
「フェルマーの小定理」の記事における「カーマイケルの定理」の解説
m = φ ( n ) {\displaystyle m=\varphi (n)} とすれば、am ≡ 1 (mod n) が n と互いに素な全ての a に対して成り立つが、 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} はこの性質を満たす m の最小の数とは限らない。カーマイケルの定理はオイラーの定理を精緻化したもので、最小の m を与える。 カーマイケル関数（英語版） λ(n) を以下のように再帰的に定義する。 n = 2e なら、 λ ( 2 e ) = { 1 ( e = 1 ) 2 ( e = 2 ) 2 e − 2 ( e ≥ 3 ) {\displaystyle \lambda (2^{e})={\begin{cases}1&(e=1)\\2&(e=2)\\2^{e-2}&(e\geq 3)\end{cases}}} n が奇素数 p を用いて n = pe と書けるなら、 λ ( p e ) = p e − 1 ( p − 1 ) {\displaystyle \lambda (p^{e})=p^{e-1}(p-1)} n が p1e1 ... pkek と素因数分解できるなら、 λ ( p 1 e 1 ⋯ p k e k ) = lcm { λ ( p 1 e 1 ) , … , λ ( p k e k ) } {\displaystyle \lambda (p_{1}^{e_{1}}\dotsb p_{k}^{e_{k}})=\operatorname {lcm} \{\lambda (p_{1}^{e_{1}}),\dotsc ,\lambda (p_{k}^{e_{k}})\}} ここで lcm は最小公倍数。 カーマイケルの定理は、a と n が互いに素なとき、aλ(n) ≡ 1 (mod n)が成り立つという定理である。 λ(n) が n − 1 の約数であるとき、n はカーマイケル数と呼ばれ、自身と互いに素であるような全ての底でフェルマーテストを通過する絶対擬素数となる。
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