オイラーの定理 (数論)

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オイラーの定理 (数論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:01 UTC 版)

数論において、オイラーの定理（Euler's theorem）は初等整数論の最も基本的な定理の一つである。

概要

nが正の整数でaをnと互いに素な正の整数としたとき,

$a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$

が成立する。 ここで $\varphi (n)$はオイラーのφ関数である。

この定理はフェルマーの小定理の一般化であり、この定理をさらに一般化したものがカーマイケルの定理である。

証明

nと互いに素なn以下の正の整数の集合を

$A=\{b_{1},b_{2},...,b_{\varphi (n)}\}$とする。

この要素のそれぞれにaを乗じた集合

$B=\{ab_{1},ab_{2},...,ab_{\varphi (n)}\}$

を考えればaとnは互いに素だから、集合A,Bは法をnとしたときに一致し、当然その積も法nにおいて等しくなる。すなわちAの要素の積をPとすれば、

$P\equiv a^{\varphi (n)}P{\pmod {n}}$

nとPは互いに素だから

$a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ (証明終)

使用例

例えば7^2009の下二桁を求めたいときに、次のように考えることができる。

$\varphi (100)=40$ なので,オイラーの定理から $7^{40}\equiv 1{\pmod {100}}$.

よって $7^{2009}=7^{9}\times (7^{40})^{50}\equiv 7^{9}\equiv 7{\pmod {100}}$

ゆえに下二桁は07になる。

関連項目

• レオンハルト・オイラー