オークンの法則の成長率形式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/21 05:55 UTC 版)
「オークンの法則」の記事における「オークンの法則の成長率形式の導出」の解説
オークンの法則の第一形式から始める: ( Y ¯ − Y ) / Y ¯ = 1 − Y / Y ¯ = c ( u − u ¯ ) {\displaystyle ({\overline {Y}}-Y)/{\overline {Y}}=1-Y/{\overline {Y}}=c(u-{\overline {u}})} − 1 + Y / Y ¯ = c ( u ¯ − u ) . {\displaystyle -1+Y/{\overline {Y}}=c({\overline {u}}-u).} 両辺の一期間の差分をとり、次式を得る: Δ ( Y / Y ¯ ) = ( Y + Δ Y ) / ( Y ¯ + Δ Y ¯ ) − Y / Y ¯ = c ( Δ u ¯ − Δ u ) . {\displaystyle \Delta (Y/{\overline {Y}})=(Y+\Delta Y)/({\overline {Y}}+\Delta {\overline {Y}})-Y/{\overline {Y}}=c(\Delta {\overline {u}}-\Delta u).} 通分して次式を得る: ( Y ¯ Δ Y − Y Δ Y ¯ ) / ( Y ¯ ( Y ¯ + Δ Y ¯ ) ) = c ( Δ u ¯ − Δ u ) . {\displaystyle ({\overline {Y}}\Delta Y-Y\Delta {\overline {Y}})/({\overline {Y}}({\overline {Y}}+\Delta {\overline {Y}}))=c(\Delta {\overline {u}}-\Delta u).} 左辺に ( Y ¯ + Δ Y ¯ ) / Y {\displaystyle ({\overline {Y}}+\Delta {\overline {Y}})/Y} （ほぼ1に等しい）を掛けて, 次式を得る: ( Y ¯ Δ Y − Y Δ Y ¯ ) / ( Y ¯ Y ) = Δ Y / Y − Δ Y ¯ / Y ¯ ≈ c ( Δ u ¯ − Δ u ) {\displaystyle ({\overline {Y}}\Delta Y-Y\Delta {\overline {Y}})/({\overline {Y}}Y)=\Delta Y/Y-\Delta {\overline {Y}}/{\overline {Y}}\approx c(\Delta {\overline {u}}-\Delta u)} Δ Y / Y ≈ Δ Y ¯ / Y ¯ + c ( Δ u ¯ − Δ u ) . {\displaystyle \Delta Y/Y\approx \Delta {\overline {Y}}/{\overline {Y}}+c(\Delta {\overline {u}}-\Delta u).} 自然失業率の変化 Δ u ¯ {\displaystyle \Delta {\overline {u}}} は、ほぼ0に等しいと仮定する。また、完全雇用状態での産出量の成長率 Δ Y ¯ / Y ¯ {\displaystyle \Delta {\overline {Y}}/{\overline {Y}}} は、その平均値 k {\displaystyle k} にほぼ等しいと仮定する。すると、最後に次式を得る: Δ Y / Y ≈ k − c Δ u . {\displaystyle \Delta Y/Y\approx k-c\Delta u.}
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