エルデシュ・モーデルの不等式とは？わかりやすく解説

ユークリッド幾何学においてエルデシュ・モーデルの不等式（エルデシュ・モーデルのふとうしき、英: Erdős–Mordell inequality）は、三角形 $ABC$ とその内部の点 $P$ について、三角形の各頂点と $P$ の距離の和は、三角形の各辺と $P$ の距離の和の2倍以上であるという定理である。ポール・エルデシュとルイス・モーデルに因み名付けられた。エルデシュ (Erdős 1935) はこの不等式の証明の問題を発表し、その2年後に、モーデルとバロー (Mordell & D. F. Barrow 1937) によって証明がなされた。この不等式は実に初等的であるが、彼らによる証明は全く初等的でない。その後 Kazarinoff (1957)、Bankoff (1958)、Alsina & Nelsen (2007) らによって単純な証明が与えられた。

バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式のより強力な不等式である^[1]。エルデシュ・モーデルの不等式は点と辺との距離、つまり垂線の長さに関する不等式だが、バローの不等式は角の二等分線の長さに関する不等式となっている。

主張

エルデシュ・モーデルの不等式 ― $P$ を三角形 $ABC$ の内部にある点、 $PL, PM, PN$ を $P$ から三角形の辺に降ろした垂線とする（三角形が鈍角を持つ場合は、一つの垂線は、別の辺と交ったのち、辺の延長で交わる）。このとき次の式が成り立つ：

PA+PB+PC\geq 2(PL+PM+PN)

証明

$A, B, C$ の対辺とその長さを $a, b, c$ と表現する。また $PA, PB, PC$ の長さをそれぞれ $p, q, r$ 、 $P, BC$ 間, $P, CA$ 間, $P, AB$ 間の距離をそれぞれ $x, y, z$ とする。このとき

cr\geq ax+by

を証明する。この不等式は

{\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}

と等しい。このとき、右辺は三角形の面積を表すが、左辺の $r + z$ は底辺を $c$ としてみたときの三角形の高さよりも大きい。したがってこの不等式は成立する。 $P$ を $C$ の角の二等分線で鏡映した点にこの不等式を用いれば $cr ≧ ay + bx$ を得る。同様に $ap ≧ bz + cy, bq ≧ cx + az$ を得る。これらの不等式を変形する。

r\geq (a/c)y+(b/c)x,

q\geq (a/b)z+(c/b)x,

p\geq (b/a)z+(c/a)y.

この3つの不等式を加えて

p+q+r\geq \left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)x+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)y+\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)z.

ここで相加相乗平均の関係式よりエルデシュ・モーデルの不等式を得る。等号成立条件は、元の三角形が正三角形で $P$ が三角形の重心であることである。

他のより強い不等式

外接円を $O$ とする $△ ABC$ と、 $△ ABC$ の内部の点 $P$ について、 $D, E, F$ を辺 $BC, CA, AB$ に対する $P$ の垂足、 $M, L, N$ を $A, B, C$ における $O$ の接線に対する $P$ の垂足とする。このとき

PM+PN+PQ\geq 2(PD+PE+PF)

が成り立つ。等号成立条件は元の三角形が正三角形であること（Dao, Nguyen & Pham 2016; Marinescu & Monea 2017）。

一般化

$A 1 A 2 ... A n$ を凸n角形、 $P$ をその内部の点とする。また $R i$ を $P$ と $A i$ の距離、 $r i$ を $P$ と $A i A i + 1$ の距離、 $w i$ を $∠ A i PA i + 1$ の二等分線と $A i A i + 1$ の交点と $P$ の距離とする。このとき次の不等式が成り立つ (Lenhard 1961)。

\sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}

絶対幾何学

絶対幾何学（英語版）においてもエルデシュ・モーデルの不等式が成り立つことが知られている (Pambuccian 2008) 。ただし絶対幾何学での三角形の内角の和は180°以下であることを考慮する必要がある。

出典

^ 『エルデス・モーデルの定理の証明』 - 高校数学の美しい物語

参考文献

Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), “A visual proof of the Erdős-Mordell inequality”, Forum Geometricorum 7: 99–102 .
Bankoff, Leon (1958), “An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem”, American Mathematical Monthly 65 (7): 521, doi:10.2307/2308580, JSTOR 2308580, https://jstor.org/stable/2308580 .
Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), “A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality”, Forum Geometricorum 16: 317–321, MR 3556993 .
Erdős, Paul (1935), “Problem 3740”, American Mathematical Monthly 42: 396, doi:10.2307/2301373, JSTOR 2301373, https://jstor.org/stable/2301373 .
Kazarinoff, D. K. (1957), “A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles”, Michigan Mathematical Journal 4 (2): 97–98, doi:10.1307/mmj/1028988998 . (See D. K. Kazarinoff's inequality for tetrahedra.)
Lenhard, Hans-Christof (1961), “Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone”, Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 12: 311–314, doi:10.1007/BF01650566, MR 0133060 .
Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), “About a strengthened version of the Erdős-Mordell inequality”, Forum Geometricorum 17: 197–202 .
Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), “Solution to 3740”, American Mathematical Monthly 44: 252–254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713, https://jstor.org/stable/2300713 .
Pambuccian, Victor (2008), “The Erdős-Mordell inequality is equivalent to non-positive curvature”, Journal of Geometry 88 (1–2): 134–139, doi:10.1007/s00022-007-1961-4 .

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Erdős-Mordell Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.

[1] 『エルデス・モーデルの定理の証明』 - 高校数学の美しい物語

[1]

エルデシュ・モーデルの不等式とは？わかりやすく解説