幾何学 におけるオノの不等式 （オノのふとうしき、Ono's inequality ）は、三角形 の辺 と面積 に関する不等式 である。
1914年 に T.オノ[ 1] 予想 したが、1916年 に Balitrand によって予想が誤りであることと鋭角三角形 であればこの式が成り立つことが示された。
鋭角三角形の3辺を a , b , c 、面積を S としたとき、以下の不等式が成り立つ。
27 ( b 2 + c 2 − a 2 ) 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 ≤ ( 4 S ) 6 . {\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4S)^{6}.} この式は鈍角三角形 だと成り立たないことがある。反例 としては a = 3, b = 2, c = 4 のような例が挙げられる。
与式の両辺を 64 ( a b c ) 4 {\displaystyle 64(abc)^{4}}
27 ( b 2 + c 2 − a 2 ) 2 4 b 2 c 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) 2 4 a 2 c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 4 a 2 b 2 ≤ 4 S 2 b 2 c 2 4 S 2 a 2 c 2 4 S 2 a 2 b 2 {\displaystyle 27{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}}{\frac {(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4a^{2}c^{2}}}{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}\leq {\frac {4S^{2}}{b^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}b^{2}}}} 左辺に余弦定理 を適用し、右辺に S = b c sin A 2 {\displaystyle S={\frac {bc\sin {A}}{2}}}
27 ( cos A cos B cos C ) 2 ≤ ( sin A sin B sin C ) 2 {\displaystyle 27(\cos {A}\cos {B}\cos {C})^{2}\leq (\sin {A}\sin {B}\sin {C})^{2}} 任意の三角形について成り立つ恒等式 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C {\displaystyle \tan {A}+\tan {B}+\tan {C}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}}
27 tan A tan B tan C ≤ ( tan A + tan B + tan C ) 3 {\displaystyle 27\tan {A}\tan {B}\tan {C}\leq (\tan {A}+\tan {B}+\tan {C})^{3}} 鋭角三角形であれば各内角の正接は正なので、相加相乗平均の関係 より上の式は成り立つ。
Balitrand, F. (1916). “Problem 4417”. Interméd. Math. 23 : 86–87. Ono, T. (1914). “Problem 4417”. Interméd. Math. 21 : 146. Quijano, G. (1915). “Problem 4417”. Interméd. Math. 22 : 66.
