エネルギー固有値と時間発展
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 08:06 UTC 版)
「行列力学」の記事における「エネルギー固有値と時間発展」の解説
行列力学において、ハミルトニアンH(x, p ) はエネルギー固有値Enを成分とする対角行列 H ( x , p ) = ( E 0 0 0 … 0 E 1 0 … 0 0 E 2 … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle H(x,p)={\begin{pmatrix}E_{0}&0&0&\ldots \\0&E_{1}&0&\ldots \\0&0&E_{2}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}} として与えられる。これは、ハミルトニアン自身に対するハイゼンベルクの運動方程式が i ℏ d H d t = [ H , H ] = H H − H H = 0 {\displaystyle i\hbar {\frac {dH}{dt}}=[H,H]=HH-HH=0} であり、対応するハミルトニアンの行列要素 H m n ( t ) = H m n e 2 π i ν m n t {\displaystyle H_{mn}(t)=H_{mn}e^{2\pi i\nu _{mn}t}} が i ℏ d d t H m n ( t ) = − 2 π ℏ ν m n H m n e 2 π i ν m n t = 0 {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}H_{mn}(t)=-2\pi \hbar \nu _{mn}H_{mn}e^{2\pi i\nu _{mn}t}=0} を満たし、 H m n ( t ) = E n δ m n {\displaystyle H_{mn}(t)=E_{n}\delta _{mn}} と表せることからの帰結である。ハミルトニアンが対角行列であること及び同様の考察から、物理量A の各行列要素 A m n ( t ) = A m n e 2 π i ν m n t {\displaystyle A_{mn}(t)=A_{mn}e^{2\pi i\nu _{mn}t}} における振動数νmnは、 ν m n = 2 π ( E m − E n ) ℏ {\displaystyle \nu _{mn}={\frac {2\pi (E_{m}-E_{n})}{\hbar }}} の関係を満たすことがわかる。すなわち、系の時間発展はエネルギー固有値Enで定まる。
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