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環のスペクトル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/06 20:26 UTC 版)

ホモトピー論における環スペクトルの概念については「環スペクトル（英語版）」をご覧ください。

抽象代数学と代数幾何学において，可換環 R のスペクトル Spec(R) とは，R のすべての素イデアルからなる集合である．通常ザリスキー位相と構造層をともに考え，それにより Spec(R) は局所環付き空間である．この形の局所環付き空間はアフィンスキームと呼ばれる．

ザリスキー位相

可換環 R の任意のイデアル I に対し，V_I を I を含む素イデアルの全体と定義する．この形の集合を閉集合と定義することで Spec(R) に位相を入れることができる．この位相をザリスキー位相と呼ぶ．

ザリスキー位相の基底を次のように構成できる．f ∈ R に対し，D_f を f を含まない R の素イデアル全体と定義する．すると各 D_f は Spec(R) の開集合であり，この形の開集合の全体はザリスキー位相の基底である．

Spec(R) は準コンパクトであるが，ほとんど決してハウスドルフではない．実際，R の極大イデアルがちょうどこの位相での閉点である．同じ理由により，Spec(R) は一般には T₁ 空間ではない^{[注釈 1]}．しかしながら，Spec(R) は必ず T₀ 空間である．また，スペクトル空間（英語版）でもある．

層とスキーム

ザリスキー位相を持った空間 X = Spec(R) が与えられると，その構造層 O_X が開集合 D_f 上 Γ(D_f, O_X) を R の f における局所化 R_f とすることで定義される．これは B 層（英語版）を定義し，したがって層を定義することを示すことができる．より詳しくは，開集合 D_f たちはザリスキー位相の基底であるので，任意の開集合 U に対し，これを {D_fi}_i∈I の和集合として表し，Γ(U, O_X) = lim_i∈I R_fi とおく．この前層は層であることを確認でき，したがって Spec(R) は環付き空間である．この形の環付き空間に同型なものはアフィンスキームと呼ばれる^{[要検証 – ノート]}．一般のスキームはアフィンスキームを貼り合わせて得られる．

同様に，環 R 上の加群 M に対して，Spec(R) 上の層 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$

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