跡 (線型代数学) リー環上の写像として

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跡 (線型代数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/02 14:49 UTC 版)

リー環上の写像として

跡は行列式の微分と対応付けられる。即ち、リー群における行列式のリー環における対応物が跡である。それを示すのが行列式の微分に対するヤコビの公式である。

特に、「単位元 I における微分係数」という特別の場合には

$\det(I+A)=1+\operatorname {tr} (A)+o(A)$

（o はランダウの記号）という意味で行列式の微分がちょうど跡になる（$\operatorname {tr} =\operatorname {det} '_{I}$）。このことから、リー環の間の跡写像とリー環からリー群への指数写像（あるいは具体的に行列の指数函数）との間の関係を

$\det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))$

と書くことができる。

ベクトル空間 V の次元が n であるとき、跡写像は V 上の線型写像の空間としての行列リー環 gl_n(k) からスカラーのリー環（自明なリー括弧積を持つ可換リー環と見て得られる）k への写像と見ることができる。これは即ち、交換子括弧のトレースが消える:

$\operatorname {tr} ([A,B])=0$

という意味に他ならない。跡写像の核はトレース 0 の行列からなるが、そのような行列はしばしば跡が無い (traceless, tracefree) と言い、それら行列は単純リー環 sl_n(k) を成す。sl_n は行列式 1 の行列の成す特殊線型群 SL_n のリー環である。SL_n に属する行列が体積を変えない変換であることに類比して、sl_n の元は無限小体積を変えない行列である。

実は gl_n の内部直和分解

${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k$

が存在し、そのスカラー（行列）成分への射影はトレースを用いて

$A\mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\cdot I$

と書ける。きちんと述べるならば、（余単位射としての）跡写像に（単位射としての）「スカラーの包含」k → gl_n を合成して gl_n → gl_n を作れば、これはスカラー行列の成す部分リー環の上への写像で、それは n倍として作用する。この n倍の分だけ割って射影を得れば上記の如くである。

短完全列の言葉で言えば、

$0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{{}\to {}}}k\to 0$

がリー群の短完全列

$1\to {\mathit {SL}}_{n}\to {\mathit {GL}}_{n}{\overset {\operatorname {det} }{{}\to {}}}K^{*}\to 1$

に対応する形で成り立つが、跡写像は（スカラーの 1/n倍を通じて）自然に分裂するから gl_n = sl_n ⊕ k を得る。一方、行列式の分裂は行列式の n乗根をとる必要があり、これは一般には写像を定めない。つまり、行列式は分裂せず、一般線型群も分解されない（GL_n ≠ SL_n × K^∗）。

以下の双線型形式

$B(x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))\qquad (\operatorname {ad} (x)y:=[x,y]=xy-yx)$

はキリング形式と呼ばれ、リー環の分類に用いられる。

正方行列 x, y に対して定義される双線型形式

$(x,y)\mapsto \operatorname {tr} (xy)$

は対称かつ非退化、さらに

$\operatorname {tr} (x[y,z])=\operatorname {tr} ([x,y]z)$

が成り立つ意味で結合的である。（sl_n のような）複素単純リー環に対しては、このような任意の双線型形式は互いに他の定数倍であり、特にキリング形式として書ける。

ふたつの行列 x, y がトレース直交 (trace orthogonal) であるとは

$\operatorname {tr} (xy)=0$

を満たすときに言う。