小数 実数の表現

ウィキペディア

小数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/15 23:06 UTC 版)

実数の表現

与えられた実数xと2以上の自然数nに対して，xのn進無限小数表記を与える無限数列a₀, a₁, a₂, …の各項の値を決定する二種類の手続きを次のように与える。これらの手続きのどちらを採用してもその表記は一意的に定まるが、0以外の有限小数に対する無限小数表記は採用した手続きによって異なるものとなる。

一つ目：

1. x = 0であれば、全ての項を0としてここで終了する。
2. a₀ = ⌈abs⁡(x)⌉ − 1, x′ = abs⁡(x) − a₀ ∈ (0, 1], p₁ = 0（⌈⋅⌉: 天井函数，abs⁡(⋅): 絶対値）とし，i = 1とおく。
3. 区間(p_i, p_i + n/nⁱ]をn等分し、その両端点とn − 1個の等分点を左から $s_{i,0}=p_{i},s_{i,1},\cdots ,s_{i,j}=p_{i}{+}{\frac {j}{n^{i}}},\cdots ,s_{i,n-1},s_{i,n}=p_{i}{+}{\frac {n}{n^{i}}}$ とする。
4. jを0からn − 1まで移動させ、x′ ∈ (s_{i, j}, s_{i, j + 1}]なるjが存在すればそこでjを固定し、a_i = j, p_{i + 1} = s_{i, j}とした後，iに1を加算して 3. に戻る。

こうして得られた数列a_nは、1以降のiに対して0 ≤ a_i ≤ a_{n − 1}を満たすから、a_iはn進法を用いて1桁の数字で表現できる。ここで、sgn⁡xを符号関数とし、(sgn⁡x)a₀のn進法表記の後に.を付け（これを小数点と呼ぶ）、数字 a_iを列記してできる表記、即ち

x = (sgn⁡x)a₀.a₁a₂a₃…

という形で無限小数表記が得られた。この手続きによる場合、無限数列a_iの途中の項から0が無限に続くのは0しかない。

二つ目：

1. a₀ = [abs⁡x]（[・]：ガウス記号）とし、i = 1 とする。
2. x' = abs x - a₀、p₁ = 0 とする。この時、x' ∈ [0,1) である。もし、x' = 0 であれば、残りの項を 0 としてここで終了する。
3. 区間 [p_i , p_i+n^1-i) を n 等分し、その両端点と n - 1 個の等分点を左から p_i=s_i,0, s_i,1, …, s_{i, n-1} , s_{i, n}=p_i+n^1-i とする。
4. j を 0 から n - 1 まで移動させ、x' ∈ [s_ij, s_{i,j + 1}) なる j が存在すればそこで j を固定し、a_i = j として次に進む。
5. もし、x' = s_ij であれば、残りの項を 0 としてここで終了する。そうでなければ p_i+1 = s_ij とし、i に 1 を加算して (3.) に戻る。

こうして得られた数列 a_n は、1 以降の i に対して 0 ≤ a_i ≤ n - 1 を満たすから、a_i は n 進法を用いて 1 桁で表現できる。ここで、(sgn⁡x)を符号関数とし、(sgn x)a₀ の n 進法表記の後に . を付け（これを小数点と呼ぶ）、a_i を列記していったもの、即ち

$x=(\operatorname {sgn} x)a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\dots$

とする表現を小数とする。この手続きによる場合、無限数列 a_n の途中の項から n - 1 が無限に続くことは無い。

但し、小数点以下のある項から 0 が無限に続くようであれば、その位置から 0 を省略し、何も書かなくてよい（この場合は有限小数となる）。特にその項が小数点以下第一位であった場合は小数点も省略して良い（この場合は整数となる）。また、そうでない場合は列記していく操作を永久に続けることになるが、実際は不可能である。このような時、省略記号を使って項を省略してよい。(上記「#小数の分類」参照)