多重線型代数 対称代数や外積代数の構造

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多重線型代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/27 04:20 UTC 版)

対称代数や外積代数の構造

加群の直和 E ⊕ F に対して、次数付き加群としての自然な同一視 S (E ⊕ F ) ≡ SE ⊗ SF や ∧(E ⊕ F ) ≡ ∧E ⊗ ∧F がある。つまり、各自然数 k について

$\mathrm {S} ^{k}(E\oplus F)\equiv {\boldsymbol {\bigoplus }}_{k=m+n}\mathrm {S} ^{m}E\otimes \mathrm {S} ^{n}F,~{\boldsymbol {\bigwedge }}^{k}(E\oplus F)\equiv {\boldsymbol {\bigoplus }}_{k=m+n}{\boldsymbol {\bigwedge }}^{m}E\otimes {\boldsymbol {\bigwedge }}^{n}F$

が成立している。したがって、dim SⁿE や dim ∧ⁿE の母関数 σ_t (E ) = ∑ dim(SⁿE )tⁿ や λ_t (E ) = ∑ dim(∧ⁿE )tⁿ について

$\sigma _{t}(E\oplus F)=\sigma _{t}(E)\sigma _{t}(F),~\lambda _{t}(E\oplus F)=\lambda _{t}(E)\lambda _{t}(F)$

が成立している。ここから σ_t (K ) = 1 + t + t ² + … = 1/(1 - t ) や λ_t (K ) = 1 + t から dim ∧ⁿ K^m = _nC_m などが従う。