リーマン＝スティルチェス積分 一般化

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リーマン＝スティルチェス積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/13 07:57 UTC 版)

一般化

リーマン積分がルベーグ積分に一般化されるのと同じく、ルベーグ＝スティルチェス積分はリーマン＝スティルチェス積分の重要な一般化である。広義リーマン＝スティルチェス積分までも含める場合には、ルベーグ＝スティルチェス積分は厳密な意味でのリーマン＝スティルチェス積分の一般化となるわけではない。

リーマン＝スティルチェス積分を、被積分函数 f や積分函数 g をバナッハ空間に値をとる函数とする場合にまで一般化することもできる。g: [a,b] → X がバナッハ空間 X に値をとる函数であるときには、それが強有界変動であること、すなわち

$\sup \sum _{i}\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\|_{X}<\infty$

が成立することを仮定するのが自然である。ただし上限は、有界閉区間 [a, b] の任意の有限分割

$a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b$

の上を亘ってとるものとする。この一般化はラプラス＝スティルチェス変換を通じて c⁰-半群の研究に用いられる。