リーマンの写像定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/22 08:52 UTC 版)
一意化定理
リーマンの写像定理は、リーマン面の脈絡で一般化することが可能である。U をリーマン面の単連結な開部分集合とすると、U はリーマン球面、複素平面 C、開円板 D のうちの一つとなる。この定理は、一意化定理として知られている。
滑らかなリーマンの写像定理
滑らかな境界をもった単連結な有界領域の場合は、リーマンの写像函数とその全ての微分は、連続性により領域の閉包へと拡張される。これは、平面的領域のソボレフ空間の定理、あるいは、古典的ポテンシャル論に従うディリクレの境界値問題の正規な性質を使い証明することができる。リーマン写像定理を証明するもう一つの方法は、核函数(kernel function)を使う方法[2] や、ベルトラミ方程式(Beltrami equation)を使う方法である。
関連項目
- カラテオドリの定理 (等角写像) (Carathéodory's theorem)
- 測度的リーマン写像定理(Measurable Riemann mapping theorem)
- シュワルツ・クリストフェル写像(Schwarz–Christoffel mapping) - 上半平面から単体ポリゴンの内部上への共形変換
- ド・ブランジュの定理(ビーベルバッハの予想）
参考文献
- Bell, Steven R. (1992), The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X
- John B. Conway (1978) Functions of one complex variable, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3
- John B. Conway (1995) Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94460-5
- Gray, Jeremy (1994), “On the history of the Riemann mapping theorem”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. Supplemento (34): 47–94, MR1295591
- Steven G. Krantz (2006) Geometric Function Theory, chapter 4: Riemann Mapping Theorem and its Generalizations, pp 83–108, Birkhäuser ISBN 0-8176-4339-7 .
- Osgood, W. F. (1900), “On the Existence of the Green's Function for the Most General Simply Connected Plane Region”, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 1 (3): 310–314, ISSN 0002-9947, JFM 31.0420.01, JSTOR 1986285
- Reinhold Remmert (1998) Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98221-3
- Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Göttingen.
- Walsh, J. L. (1973), “History of the Riemann mapping theorem”, The American Mathematical Monthly 80: 270–276, ISSN 0002-9890, JSTOR 2318448, MR0323996
外部リンク
- Dolzhenko, E.P. (2001), "Riemann theorem", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
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