x2 2y2とは? わかりやすく解説

x2+2y2

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/07 19:14 UTC 版)

二個の平方数の和」の記事における「x2+2y2」の解説

p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3\;(\operatorname {mod} \;8)} の素数p = x 2 + 2 y 2 {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}} で表される合成数が x 2 + 2 y 2 {\displaystyle x^{2}+2y^{2}} で表されるための必要十分条件は、 p ≡ 1 , 2 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,2,3\;(\operatorname {mod} \;8)} 以外の素因数全て平方になっていることである。この証明は以下に与えられる平方剰余の相互法則第一補充法則と第二補充法則により、 ( − 2 8 n + 1 ) = ( − 1 8 n + 1 ) ( 2 8 n + 1 ) = ( − 1 ) 1 − 1 2 ( − 1 ) 1 − 1 8 = 1 , ( − 2 8 n + 3 ) = ( − 1 8 n + 3 ) ( 2 8 n + 3 ) = ( − 1 ) 3 − 1 2 ( − 1 ) 9 − 1 8 = 1 , ( − 2 8 n + 5 ) = ( − 1 8 n + 5 ) ( 2 8 n + 5 ) = ( − 1 ) 5 − 1 2 ( − 1 ) 251 8 = − 1 , ( − 2 8 n + 7 ) = ( − 1 8 n + 7 ) ( 2 8 n + 7 ) = ( − 1 ) 7 − 1 2 ( − 1 ) 491 8 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {-2}{8n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+1}}\right)\left({\frac {2}{8n+1}}\right)=(-1)^{\frac {1-1}{2}}(-1)^{\frac {1-1}{8}}=1,\\&\left({\frac {-2}{8n+3}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+3}}\right)\left({\frac {2}{8n+3}}\right)=(-1)^{\frac {3-1}{2}}(-1)^{\frac {9-1}{8}}=1,\\&\left({\frac {-2}{8n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+5}}\right)\left({\frac {2}{8n+5}}\right)=(-1)^{\frac {5-1}{2}}(-1)^{\frac {25-1}{8}}=-1,\\&\left({\frac {-2}{8n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+7}}\right)\left({\frac {2}{8n+7}}\right)=(-1)^{\frac {7-1}{2}}(-1)^{\frac {49-1}{8}}=-1\\\end{aligned}}} であるから、 p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3\;(\operatorname {mod} \;8)} であれば r 2 ≡ − 2 ( mod p ) {\displaystyle r^{2}\equiv -2\;(\operatorname {mod} \;p)} となる自然数 r {\displaystyle r} が存在する。 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明にならえば x 2 + 2 y 2 ≡ 0 ( mod p ) , 0 < x 2 + 2 y 2 < 3 p {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+2y^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p),\\&0<x^{2}+2y^{2}<3p\\\end{aligned}}} となり、故に x 2 + 2 y 2 = f p ( f ≦ 2 ) {\displaystyle x^{2}+2y^{2}=fp\quad (f\leqq 2)} となる。 f = 2 {\displaystyle f=2} の場合両辺を2で除して 2 ( x 2 ) 2 + y 2 = p {\displaystyle 2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+y^{2}=p} となる。合成数については x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明にならう。

※この「x2+2y2」の解説は、「二個の平方数の和」の解説の一部です。
「x2+2y2」を含む「二個の平方数の和」の記事については、「二個の平方数の和」の概要を参照ください。

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