生成消滅演算子
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生成消滅演算子（せいせいしょうめつえんざんし、英: creation and annihilation operators）は、量子的な調和振動子や多体問題など、量子論において基本変数として広く使われる演算子である。 [1]
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- ^ (Feynman 1998, p. 151)
- ^ (Feynman 1998, p. 167)
- ^ (Feynman 1998, pp. 174–5)
- ^ a b 坂本眞人『場の量子論-普遍性と自由場を中心として-』裳華房〈量子力学選書〉、2014年。ISBN 978-4785325114。
- 1 生成消滅演算子とは
- 2 生成消滅演算子の概要
- 3 参考文献
生成消滅演算子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 01:44 UTC 版)
調和振動子の扱い方としては、上述の正準変数を用いた方法の他に、生成消滅演算子で書きなおして考える方法がある。 以下のような演算子を定義する。 a ^ = ℏ 2 m ω ( + ∂ ∂ x + m ω ℏ x ) {\displaystyle {\hat {a}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\left(+{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x\right)} : 消滅演算子 a ^ † = ℏ 2 m ω ( − ∂ ∂ x + m ω ℏ x ) {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x\right)} : 生成演算子 これを使うと、上述のシュレディンガー方程式は次のように書きなおせる。 ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) ϕ = E ϕ {\displaystyle \hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)\phi =E\phi } 1/2の項が出るのは演算子に微分が含まれているためである。エネルギー固有値との比較から、 a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}} の固有値は n {\displaystyle n} に等しいことがわかる。よって a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}} を数演算子と呼び n ^ {\displaystyle {\hat {n}}\ } で表す。 生成・消滅演算子をエネルギー固有状態 ϕ n ( x ) {\displaystyle \phi _{n}(x)} に作用させると、 n ^ {\displaystyle {\hat {n}}\ } の固有値n を増減させる。( n {\displaystyle n} = 0 , 1 , 2 , . . . . {\displaystyle 0,1,2,....} ) a ^ † ϕ n ( x ) = n + 1 ϕ n + 1 ( x ) a ^ ϕ n ( x ) = n ϕ n − 1 ( x ) ( n ≥ 1 ) a ^ ϕ 0 ( x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }\phi _{n}(x)&={\sqrt {n+1}}\phi _{n+1}(x)\\{\hat {a}}\phi _{n}(x)&={\sqrt {n}}\phi _{n-1}(x)&(n\geq 1)\\{\hat {a}}\phi _{0}(x)&=0\end{aligned}}} つまり n {\displaystyle n} をなんらかの粒子の数と見なすならば、生成演算子は粒子を一つ作り、消滅演算子は一つ減らす働きをする。また基底状態(粒子数0の状態)に消滅演算子を作用させても、もう粒子は消せない。 この演算子を用いれば、方程式の解を容易に導出できる。
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