正規行列
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数学の特に線型代数学において正規行列（せいきぎょうれつ、英: normal matrix）は、複素数に成分をとる正方行列であって、自身のエルミート共軛と可換となるような行列を言う。式で書けば、複素正方行列 A が正規であるとは、
注釈
- ^ 証明: A が正規のとき、A の固有値 λj に対して λj = P(λj) を満たす多項式 P をラグランジュ補間多項式を用いて構築すればよい。
出典
- ^ Horn, pp. 109
- ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. p. 157. ISBN 978-0-521-30587-7
正規行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/02 06:05 UTC 版)
詳細は「正規行列」を参照 スペクトル定理は、より一般の行列のクラスに対しても拡張できる。A をある有限次元内積空間の上の作用素とする。A が正規であるとは、A* A = A A* が成立することを言う。A が正規であるための必要十分条件は、それがユニタリ対角化可能であることである。すなわち、シュール分解によって A = U T U* が得られる。ここで U はユニタリで、T は上三角である。A は正規であるので、T T* = T* T が成り立つ。したがって、正規な上三角行列は対角行列であることより、T は上三角である。この逆は自明である。 言い換えると、A が正規であるための必要十分条件は、次を満たすようなユニタリ行列 U が存在することである。 A = U D U ∗ {\displaystyle A=UDU^{*}\;} ここで D は対角行列である。このとき、D の対角成分は A の固有値となる。また U の各列ベクトルは A の固有ベクトルで、それらは正規直交系をなす。エルミートの場合とは異なり、D の成分は必ずしも実数でなくてもよい。
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正規行列
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「ムーア・ペンローズ逆行列」の記事における「正規行列」の解説
A {\displaystyle A} が 正規行列、つまり、共役転置が可換であれば、その擬似逆行列は、それを対角化し、すべての非ゼロ固有値をそれらの逆数に、ゼロ固有値をゼロに写すことで計算できる。当然、 A {\displaystyle A} が転置について可換であるとは、それがその擬似逆行列で可換であることを意味します。
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