楔積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/14 01:58 UTC 版)
「交代テンソル#交代テンソル積」および「外積代数#交代テンソル代数」も参照 交代多重線型形式のテンソル積は一般にはもはや交代的とはいえない。しかし、テンソル積に任意の置換を施して、置換の符号を重みとして足し合わせることにより、多重余ベクトルの楔積（ウェッジ積）または外積（交代積）∧ が定義できる。すなわち f ∈ A k ( V ) , g ∈ A ℓ ( V ) {\textstyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V),g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)} に対して f ∧ g ∈ A k + ℓ ( V ) {\textstyle f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)} が ( f ∧ g ) ( v 1 , … , v k + ℓ ) := 1 k ! ℓ ! ∑ σ ∈ S k + ℓ ( sgn ( σ ) ) f ( v σ ( 1 ) , … , v σ ( k ) ) g ( v σ ( k + 1 ) , … , v σ ( k + ℓ ) ) {\displaystyle (f\wedge g)(v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }):={\frac {1}{k!\ell !}}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\operatorname {sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )})} で与えられる。ここで右辺の和は k + l 元集合上の置換すべてに亙ってとる。この楔積は双線型、結合的で、さらに反交換的（ f ∈ A k ( V ) , g ∈ A ℓ ( V ) {\textstyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V),g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)} ならば f ∧ g = ( − 1 ) k ℓ g ∧ f {\textstyle f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f} ）である。 V の基底を ( v 1 , … , v n ) {\textstyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} とし、その双対基底を ( ϕ 1 , … , ϕ n ) {\textstyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})} とすれば、楔積の集合 ϕ i 1 ∧ ⋯ ∧ ϕ i k ( 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ) {\displaystyle \phi ^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \phi ^{i_{k}}\qquad (1\leq i_{1}<\dotsb <i_{k}\leq n)} は A k ( V ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)} の基底を成す。したがって、V が n-次元のとき、 A k ( V ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)} の次元は ( n k ) = n ! ( n − k ) ! k ! {\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}} に等しい。
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