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外積代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/12/18 12:17 UTC 版)
(ウェッジ積 から転送)
数学におけるベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。- ^ Grassmann (1844) では拡大された代数 (extended algebra) として導入されている (cf. Clifford 1878)。おそらく現代的な線型代数学において定義されるところの outer product との区別のために、グラスマンは彼の定義した（今日では便利に外積 (exterior product) と呼ばれる）積 (produkt) を指し示すだけのために äußere（逐語訳すれば外の (outer) あるいは外部の(exterior)）という言葉を用いた。
- ^ 注意すべきは、多元環 ∧(V) の任意の元に対して成立が要請される結合性や双線型性とは異なり、ここに掲げられるみっつの条件は、この多元環の部分空間である V 上でのみ制約として課せられているということである。ここで条件 (1) と条件 (3) は同値であり、条件 (1) と条件 (2) は K の標数が 2 でない限り同値である。
- ^ この面積の公理化はレオポルト・クロネッカーとカール・ワイエルシュトラスによる; see Bourbaki (1989, Historical Note)。近代的な取り扱いについては、see MacLane & Birkhoff (1999, Theorem IX.2.2)。初等的な取り扱いについては、see Strang (1993, Chapter 5)。
- ^ これは標準的な定義の一つ。See, for instance, MacLane & Birkhoff (1999).
- ^ このことのもっと一般な証明はたとえば Bourbaki (1989) に見ることができる。
- ^ See Sternberg (1964, §III.6).
- ^ Bourbaki (1989, III.7.1) および MacLane & Birkhoff (1999, Theorem XVI.6.8) を見よ。一般の普遍性に基づくより詳細な議論は MacLane & Birkhoff (1999, Chapter VI) およびブルバキの著作の至る所で見ることができる。
- ^ 慣習的に、特に物理学では、楔積を
- ^ 主張のうち ∧ が全射を全射に写すという部分はより一般に V and W が環上の加群である場合にも成り立つ。See Bourbaki (1989, Proposition 3, III.7.2).
- ^ このことは V and W が可換環上の射影加群である場合にのみ一般化できる。そうでない場合には ∧ が単射を単射に写すことが一般には期待できない。See Bourbaki (1989, Corollary to Proposition 12, III.7.9).
- ^ このようなフィルトレーションはベクトル束や可換環上の射影加群についても取れる。これはしたがって上述の直和に対する結果よりもっと一般的な結果である。実際、他のアーベル圏では必ずしも短完全列が分裂するとは限らない。
- ^ See Bourbaki (1989, III.7.5) for generalizations.
- ^ カネンバーグはグラスマンの仕事の英訳 （Kannenberg 2000） において Ausdehnungslehre を Extension Theory と訳している。
- ^ J Itard, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
- ^ かつてはこの計算についてさまざまな呼び方が成されており、calculus of extension (Whitehead 1898; Forder 1941) とか extensive algebra （Clifford 1878） とか、近いところでは extended vector algebra （Browne 2007） などがある。
- ^ Bourbaki 1989, p. 661
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