増大度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 01:57 UTC 版)
定義により、整函数は無限遠点にのみ孤立特異点を持つ。整函数 f に対して M f ( r ) = max | z | = r | f ( z ) | {\displaystyle M_{f}(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|} と置けば、この函数は最大値原理により単調増大で、f が定数でなければリウヴィルの定理から有界ではない。これを f の最大絶対値函数と言う。 定理 (Hadamard) 最大絶対値の自然対数函数 ln Mf(r) は、ln r の凸函数である。 定理 (Blumenthal) 最大絶対値の自然対数函数 ln Mf(r) は、任意の区間上で連続かつ解析的である。[要出典] 上記の凸性からの帰結として、ln Mf(r) は右および左微分を持ち、それらは単調増大である。必ずしも連続でない函数 v(t) が存在して ln M f ( r ) = ln M f ( 1 ) + ∫ 1 r v ( t ) d t t {\displaystyle \ln M_{f}(r)=\ln M_{f}(1)+\int _{1}^{r}{v(t){\frac {dt}{t}}}} が成り立つ。 関数ｆの絶対最大値函数 Mf(r) の r に関しての増大にはいくらでも速いものが存在する。より精確には、任意の単調増大函数 g: [0, +∞) → [0, +∞) に対して、適当な函数 f を選ぶことで、任意の実数 x に対して f(x) が g(|x|) より真に大きい実数となるようにできる。そのためには f として f ( z ) = c + ∑ k = 1 ∞ ( z k ) n k {\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}} の形のものを、うまく選んだ整数列 nk に対してとればよい。実際、c := g(2) および n k := 2 ⌈ k ln g ( k + 2 ) ⌉ ( ∀ k ≥ 1 ) {\textstyle n_{k}:=2\lceil k\ln g(k+2)\rceil \quad (\forall k\geq 1)} と取れる[要出典]。 実はこれはトルステン・カーレマン（英語版）の一様近似定理「 Q が R 上定義された複素数値連続函数で、E: R → (0, +∞) が連続ならば、整函数 f が存在して、任意の実数 x に対して | f ( x ) − Q ( x ) | < E ( x ) {\textstyle |f(x)-Q(x)|<E(x)} とできる」の特別の場合になっている。 整函数 f が適当な値 λ に対して lim inf r → ∞ M f ( r ) r λ = 0 {\displaystyle \liminf _{r\to \infty }{\frac {M_{f}(r)}{r^{\lambda }}}=0} を満たすならば、函数 f は次数が高々 λ の多項式である。等号を満足する λ が存在しないときは、Mf(r) の増大度を exp(rk) と比較する。適当な値 r0 より大きい r に対して不等式 M f ( r ) < exp ( r k ) {\textstyle M_{f}(r)<\exp(r^{k})} が常に成り立つならば、f は有限増大度であると言う。整函数 f の増大度 (order of growth) あるいは上増大度 (superior order)は、等式 ρ = ρ f = lim sup r → ∞ ln ln M f ( r ) ln r {\displaystyle \rho =\rho _{f}=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{f}(r)}{\ln r}}} によって定義される。同じ増大度 ρ の整函数の間でも、 σ f = lim sup r → ∞ ln M f ( r ) r ρ {\displaystyle \sigma _{f}=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho }}}} と定義される型 σf の函数を区別することができる。σf の値により、極小型 (σf = 0), 通常型 (0 < σf < ∞) または極大型 (σf = ∞) に分類する。 そのとき以下の不等式が成り立つ： ρ f + g ≤ max ( ρ f , ρ g ) ; {\displaystyle \rho _{f+g}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g});} ρ f g ≤ max ( ρ f , ρ g ) ; {\displaystyle \rho _{fg}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g});} σ f + g ≤ max ( σ f , σ g ) ; {\displaystyle \sigma _{f+g}\leq \max(\sigma _{f},\sigma _{g});} σ f g ≤ σ f + σ g . {\displaystyle \sigma _{fg}\leq \sigma _{f}+\sigma _{g}.} 指数函数 exp の増大度は 1 であり、また正弦 sin および余弦函数 cos もそうである。 ミッタク゠レフラー函数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z n Γ ( 1 + n ρ ) {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma \left(1+{\frac {n}{\rho }}\right)}}} は増大度 ρ である。リンデレーフ函数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( z n 1 / ρ ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z}{n^{1/\rho }}}\right)^{n}} も同じ。 整函数の増大度と整級数展開の係数の間には以下のような関係がある: 整函数 f ( z ) = ∑ n ≥ 0 a n z n {\textstyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}} が十分大きな r に対して M f ( r ) < e A r k {\textstyle M_{f}(r)
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