余微分形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:33 UTC 版)
多様体上のホッジ双対の最も重要な応用は、余微分(codifferential) δ を定義することである。 δ = ( − 1 ) n k + n + 1 s ⋆ d ⋆ = ( − 1 ) k ⋆ − 1 d ⋆ {\displaystyle \delta =(-1)^{nk+n+1}s\,{\star \mathrm {d} \star }=(-1)^{k}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} \star }} とする。ここに、リーマン多様体に対し、d は外微分、s = 1 とする。 d : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)} に対し、 δ : Ω k ( M ) → Ω k − 1 ( M ) {\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M)} である。余微分は反微分ではない。これは外微分と異なる。 余微分は外微分に随伴する、すなわち ⟨ η , δ ζ ⟩ = ⟨ d η , ζ ⟩ {\displaystyle \langle \eta ,\delta \zeta \rangle =\langle \mathrm {d} \eta ,\zeta \rangle } である。ここに ζ は (k+1)-形式であり、η は k-形式である。これは滑らかな微分形式に対するストークスの定理より従う。このことは 0= ∫ M d ( η ∧ ⋆ ζ ) = ∫ M ( d η ∧ ⋆ ζ − η ∧ ⋆ ( − 1 ) k + 1 ⋆ − 1 d ⋆ ζ ) = ⟨ d η , ζ ⟩ − ⟨ η , δ ζ ⟩ {\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} (\eta \wedge \star \zeta )=\int _{M}(\mathrm {d} \eta \wedge \star \zeta -\eta \wedge \star (-1)^{k+1}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} {\star \zeta }})=\langle \mathrm {d} \eta ,\zeta \rangle -\langle \eta ,\delta \zeta \rangle } となるとき、つまり、M は境界を持たないか、または、η あるいは ★ζ が境界値が 0 を持っているときである。（もちろん、真の随伴性は、滑らかな微分形式の閉包として、適切な位相ベクトル空間への連続に接続した後に、これらの事実が成り立つ。） 注意すべきは、微分形式は、d2 = 0を満たすので、余微分は対応する性質 δ 2 = s 2 ⋆ d ⋆ ⋆ d ⋆ = ( − 1 ) k ( n − k ) s 3 ⋆ d 2 ⋆ = 0 {\displaystyle \!\delta ^{2}=s^{2}{\star \mathrm {d} {\star {\star \mathrm {d} {\star }}}}=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star \mathrm {d} ^{2}\star }=0} をみたす。 ラプラス・ド・ラーム作用素は Δ = ( δ + d ) 2 = δ d + d δ {\displaystyle \!\Delta =(\delta +\mathrm {d} )^{2}=\delta \mathrm {d} +\mathrm {d} \delta } で与えられ、ホッジ理論の心臓部をなす。この作用素は対称、すなわち ⟨ Δ ζ , η ⟩ = ⟨ ζ , Δ η ⟩ {\displaystyle \langle \Delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle } であり、非負 ⟨ Δ η , η ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \Delta \eta ,\eta \rangle \geq 0} である。ホッジ双対は、調和形式を調和形式へ写像する。ホッジ理論の結果として、ド・ラームコホモロジーは自然に調和 k-形式の空間と同型となり、ホッジスターはコホモロジー群 ⋆ : H Δ k ( M ) → H Δ n − k ( M ) , {\displaystyle \star :H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),} の同型をもたらす。これは H k(M) のポアンカレ双対性と標準的に同一視される。
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