二階微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/22 05:40 UTC 版)
スカラーやベクトルに∇を施すと一般にスカラーやベクトルが返ってくるのだが、ベクトルの乗法は多様（スカラー倍、スカラー積、ベクトル積）だから、∇の施し方ですでに勾配（スカラー倍）・発散（スカラー積）・回転（ベクトル積）の三種類の微分が生じている。そこでこの三種類の微分に、再び各種微分を施すと可能なものが五種類出てきて、これにラプラス作用素とベクトルラプラス作用素を加えると、以下のようになる。f はスカラー場、v はベクトル場として、 div ( grad f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)} curl ( grad f ) = ∇ × ( ∇ f ) {\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)=\nabla \times (\nabla f)} Δ f = ∇ 2 f {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f} grad ( div v ) = ∇ ( ∇ ⋅ v ) {\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})} div ( curl v ) = ∇ ⋅ ( ∇ × v ) {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {curl} {\boldsymbol {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {v}})} curl ( curl v ) = ∇ × ( ∇ × v ) {\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {curl} {\boldsymbol {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {v}})} Δ v = ∇ 2 v {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {v}}=\nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}} これらは常に一意と言うわけでも互いに独立と言うわけでもないという意味でそれ自体興味深い。素性のよい函数に対しては、これらのうちの二つが常に零、即ち curl ( grad f ) = ∇ × ( ∇ f ) = 0 {\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)=\nabla \times (\nabla f)=0} div ( curl v ) = ∇ ⋅ ∇ × v = 0 {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {curl} {\boldsymbol {v}})=\nabla \cdot \nabla \times {\boldsymbol {v}}=0} が成り立ち、また二つは常に等しい: div ( grad f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) = ∇ 2 f = Δ f . {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f.} 残る三種のベクトル微分の間には等式 ∇ × ∇ × v = ∇ ( ∇ ⋅ v ) − ∇ 2 v {\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {v}}=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}} が成り立ち、さらに一つはテンソル積を用いて表すことができて、素性の良い函数に対して ∇ ( ∇ ⋅ v ) = ∇ ⋅ ( ∇ ⊗ v ) {\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\boldsymbol {v}})} が成り立つ。
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