ロットスケジューリングとは?

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ロットスケジューリング

読み方ろっとすけじゅーりんぐ
【英】:economic lot scheduling

概要

ロット生産では段取り作業が必要なことから, 品種毎に適切な大きさ生産ロットサイズと各ロット生産順序ないしは生産時期併せて決める必要があり, この問題をロットスケジューリング問題と呼ぶ. この問題は通常, 多品種生産のときに生じる問題であるが, 単一品種場合であっても, 需要量が期間ごとに異な場合は, ロットサイズと生産時期決めなければならず, その場合もロットスケジューリング問題と呼ぶ.

詳説

 ロット生産では段取り作業が必要なことから, 適切な大きさのロットサイズを決めることが生産スケジューリングにおける意思決定事項一つとなる. 多品種生産では, 生産速度有限であるため, ロットサイズとともにロット生産順序決め必要がある. ロットサイズと各ロット生産順序併せて決め問題ロットスケジューリング問題(economic lot scheduling)と呼ぶ. 各ロット大きさ生産順序は, 生産能力, 生産速度, 納期(需要速度), 段取り時間, 在庫量といった要素考慮し, 段取り費用, 在庫費用, 生産費用, 納期遅れ費用などの和を最小化するように決定される.

 ロットスケジューリング問題は以下の要素によって分類できる. (i) 計画期間長さ:無限期間か有限期間か, (ii) 時間連続性:連続時間離散時間か, (iii) 品種数:単一品種か多品種か, (iv) 工程の型:単一段階か多段階か, 多段階工程場合, 組立型か分解型か混合型か, (v) 需要速度:定常需要動的需要か, (vi) 段取り時間:考慮する考慮しないか, (vii) 納期遅れ:許すか許さないか.

 主なロットスケジューリング問題には, 以下のようなモデルがある [1] - [3].

(1) 単一工程連続時間モデル:

 各品種需要速度一定かつ既知であって, (i) 計画期間連続な無限計画期間, (ii) 生産速度一定, (iii) 段取り時間費用生産順序によらず一定, などの前提条件がおかれる. このような問題は連続時間ロットスケジューリング問題と呼ばれ, 生産される品種がある一定の投入順序にしたがって繰り返し生産されるようにスケジューリングするサイクリックスケジューリング方式採用される. この方式は, 1製造サイクル中に品種製造連1つずつ含まれる基本サイクリックスケジューリング方式と, 1製造サイクル含まれる製造連の数が品種毎に異な変則サイクリックスケジューリング方式分けられる. 変則サイクリックスケジューリング方式はさらに, 同じ品種製造連はすべて同じ大きさのロットサイズとする固定ロットサイズ方式と, 同じ品種であっても製造連によってロットサイズが異な可変ロットサイズ方式分けられる.

 基本サイクリックスケジューリング方式における決定変数は, 生産サイクル T\, だけとなり, 以下のように得られる. いま, 品種 i\, 単位期間当たり需要量を r_i\, , 段取り時間s_i\, , 単位生産時間p_i\, , 1回当たり段取り費用c_{si}\, , 単位保管費用c_{Ii}\, とし, 目的関数段取り費用在庫費用総和時間平均



z = \sum_i \{ c_{si} /T + c_{Ii} r_i (1 -  p_i r_i)T/2 \}
\,


とする. このとき, 品切れ許さないものとすれば, 問題は,



\sum_i (s_i + p_i r_i T) \le T
\,


範囲z\, 最小化する T^*\, 求めればよく, 次式で与えられる.



T^* = \max \Big\{ \sqrt{ \frac{2\sum_i c_{si}}{\sum_i c_{Ii} r_i (1-
 p_i r_i)}}, \ 
   \frac{\sum_i s_i}{1 - \sum_i p_i r_i} \Big\}


このとき, 品種 i\, 最適ロットサイズ Q_i^*\, は,



Q_i^* = r_i T^*
\,


となる. 変則サイクリックスケジューリング方式では, 全ての品種について固定ロットサイズとしても, 在庫量の定式化そのもの難しい. 品種 i\, 生産サイクル T_i\, 基本サイクル T\, 整数倍とするとき, すなわち,



T_i = k_i T, \quad  k_i \in \{ 1,2,\ldots \}
\,


制約設けると, 解析はやや容易となって, 動的計画法によるアプローチも可能となるが, それでもNP困難問題である[4] [5].

(2) 多工程連続時間モデル:

 (1)のモデルを多工程問題拡張したモデルであるが, 最適化解析難しい. 機械加工型の多段階工程問題, 並列機械型多工程問題, 加工工程組立工程をもつ多工程問題などの論文がある [6].

(3) 梯形モデル:

 梯形モデル(multi-echelon model)は, 図1に示すような(a) 組立型と(b) 分解型, ならびに組立型と分解型が複合した混合型に分類できる. 図中の番号工程を表す. 例えば, 図1 (a)の第4工程は第1工程と第2工程生産された部品ユニット組み立てて, 第6工程供給している. 組立型と分解型は, 理論的取り扱い比較的容易で, 組立においては, 任意の工程のロットサイズは直後工程でのロットサイズの整数倍とするのが最適となる [7].


図1:梯形型モデルの例

図1:梯形モデルの例


(4) 多品種離散時間モデル:

 0-1混合整数計画問題として定式化される有限計画期間のロットスケジューリング問題離散時間ロットスケジューリング問題(discrete time lot scheduling)と呼ぶことがある. この問題は, 生産管理方式1つであるMRP(materialrequirements planning system)の中心機能をなすプライオリティ計画(priority planning)の立案モデルとなる. しかし, 有限生産能力考慮した実務耐える効率的アルゴリズム開発されていない.

 単一工程対す定式化は, 以下のように与えられる. ただし, 簡易化のため, (i) 需要量など入力データ確定的, (ii) 製品品切れや遅れは許さない, (iii) 素材入荷考慮しない, といった前提設ける. 記号は, T\, 計画期間, N\, 品種数, t\, 期の稼働可能時間b_t\, , 品種 i\, 段取り時間s_{i}\, , 単位生産時間p_{i}\, , 1回当たり段取り費用c_{si}\, , 単位保管費用c_{Ii}\, , 品種 i\, t\, 期の需要量を d_{it}\, , 単位生産費用を c_{pit}\, , 生産量x_{it}\, , 期末在庫量を I_{it}\, 設定する.


\mbox{min.}\, \qquad z = \sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T \{c_{pit} x_{it} +
c_{si}\delta(x_{it}) + c_{Ii} I_{it} \}\,
\mbox{s. t. }\, \sum_{i=1}^N (p_i x_{it} + s_i \delta(x_{it}) ) \le b_t \qquad (t=1,\ldots , T),\,
I_{i,t-1} + x_{it} - I_{it} = d_{it} \qquad (t=1,\ldots , T; \; i=1, \ldots , N),\,
\delta(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x > 0), \\
0 & (x = 0),
\end{array} \right.\,
x_{it}, I_{it} \ge 0 \qquad (t=1,\ldots , T; \; i=1,\ldots , N).\,



 この定式化には柔軟性があり, 残業水準労働水準変更などを容易に考慮することができる. 問題はNP困難であり, 解法には, 列生成を使った線形近似解法, 双対緩和法, 発見的方法などがある [8].

 この問題は, 多段階生産システム問題拡張できる. フローショップの各ステージ同一機械複数配置されたフレキシブル・フローラインにおける最適化解析行われている [9].




参考文献

[1] 村松太郎, 『生産管理の基礎』, 国元書房, 1970.

[2] L. A. Johnson and D. C. Montgomery, Operations Research in Production Planning, Scheduling, and Inventory Control, John Wiley & Sons, 1974.

[3] S. C. Graves, A. H. G. Rinnooy Kan and P. H. Zipkin, eds., Logistics of Production and Inventory, North-Holland, 1993.

[4] S. E. Elmaghraby, "The Economic Lot Scheduling Problem (ELSP): Review and Extensions,"Management Science, 24-6(1978), 587-598.

[5] W. Hsu, "On the General Feasibility Test of Scheduling Lot Sizes for Several Products on One Machine," Management Science, 29-1(1983), 93-105.

[6] A. Kimms, Multi-Level Lot Sizing and Scheduling, Physica-Verlag, 1997.

[7] W.B. Crowston, M. H. Wagner and A. Henshaw, "Economic Lot Size Determination in Multi-Stage Assembly Systems," Management Science, 19-5(1973), 517-527.

[8] W. W. Trigeiro, "A Dual-Cost Heuristic for the Capacitated Lot Sizing Problem," IIE Transaction, 19-1(1987), 67-72.

[9] D.Quadt, Lot-Sizing and Scheduling for Flexible Flow Lines, Springer, 2004.






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