ボルツマン方程式
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ボルツマン方程式 (英: Boltzmann equation)は、運動論的方程式の一つの形で、粒子間の2体衝突の効果だけを出来るだけ精確に取り入れたボルツマンの衝突項を右辺にもつ方程式である。そしてそれは気体中の熱伝導、拡散などの輸送現象を論ずる気体分子運動論の基本となる方程式である。
- ^ 曾根 & 青木 1994, p. 1.
- ^ 曾根 & 青木 1994, p. 11.
- ^ 世界大百科事典
- 1 ボルツマン方程式とは
- 2 ボルツマン方程式の概要
- 3 気体論への適用の歴史
ボルツマン方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/27 05:45 UTC 版)
問題の粒子 χ {\displaystyle \chi } はその反粒子 χ ¯ {\displaystyle {\bar {\chi }}} との対生成・対消滅チャンネルを持つものと仮定する。 χ + χ ¯ ⇌ X + X ¯ {\displaystyle \chi +{\bar {\chi }}\rightleftharpoons X+{\bar {X}}} ただしここではすべてのチャンネルで反応先の粒子 X {\displaystyle X} , X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} は輻射温度 T {\displaystyle T} に等しい熱平衡にあるものとする。 この系は一般相対論的なボルツマン方程式によって記述されるが、それを積分することにより粒子数密度 n χ {\displaystyle n_{\chi }} の時間変化を記述する次の方程式が導かれる。 d n χ d t + 3 H n χ = − ⟨ σ v ⟩ [ n χ 2 − ( n χ E Q ) 2 ] {\displaystyle {\frac {dn_{\chi }}{dt}}+3Hn_{\chi }=-\langle \sigma v\rangle \left[n_{\chi }^{2}-\left(n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }\right)^{2}\right]} 左辺第2項は宇宙膨張による希釈を、右辺は対生成・対消滅による粒子数密度の変化を表す。なお右辺の ⟨ σ v ⟩ {\displaystyle \langle \sigma v\rangle } は対消滅断面積と速度の積を熱平均したものであり、 n χ E Q {\displaystyle n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }} は熱平衡時の数密度 n χ E Q = g χ ∫ 1 e β ε p ∓ 1 d 3 p ( 2 π ℏ ) 3 = g χ ζ ( 3 ) k B 3 π 2 ℏ 3 c 3 T 3 × 1 2 ζ ( 3 ) ∫ 0 ∞ y 2 exp x 2 + y 2 ∓ 1 d y {\displaystyle n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }=g_{\chi }\int {\frac {1}{e^{\beta \varepsilon _{\mathbf {p} }}\mp 1}}{\frac {d^{3}p}{(2\pi \hbar )^{3}}}=g_{\chi }{\frac {\zeta (3)k_{\mathrm {B} }^{3}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}\times {\frac {1}{2\zeta (3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2}}{\exp {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\mp 1}}dy} である。後者は粒子 χ {\displaystyle \chi } が相対論的であるときには n χ = g χ ′ ζ ( 3 ) k B 3 π 2 ℏ 3 c 3 T 3 {\displaystyle n_{\chi }=g'_{\chi }{\frac {\zeta (3)k_{\mathrm {B} }^{3}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}} , 非相対論的であるときには n χ = g χ ( m χ k B T 2 π ℏ 2 ) 3 2 e − β m χ c 2 {\displaystyle n_{\chi }=g_{\chi }\left({\frac {m_{\chi }k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-\beta m_{\chi }c^{2}}} と書ける。ここに ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} はリーマンゼータ関数（ ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} はアペリーの定数）、 g χ ′ {\displaystyle g'_{\chi }} は粒子 χ がボース粒子であるときその内部自由度 g χ {\displaystyle g_{\chi }} 、フェルミ粒子であるとき 3 4 g χ {\displaystyle {\frac {3}{4}}g_{\chi }} である。 独立変数として時刻 t {\displaystyle t} の代わりに温度 T {\displaystyle T} を用いる。ただし温度は宇宙膨張とともに減少するため、粒子 χ の質量 m χ {\displaystyle m_{\chi }} で無次元化した変数 x := m χ c 2 k B T {\displaystyle x:={\frac {m_{\chi }c^{2}}{k_{\mathrm {B} }T}}} を導入する。このとき、 x ≲ 1 {\displaystyle x\lesssim 1} のとき粒子 χ {\displaystyle \chi } は相対論的であり、 x ≫ 1 {\displaystyle x\gg 1} のとき非相対論的である。さらに、宇宙膨張による希釈の効果には興味がないため、（あらゆる粒子の寄与を考慮した）エントロピー密度 s {\displaystyle s} で規格化した、単位エントロピーあたりの粒子数 Y := n χ s {\displaystyle Y:={\frac {n_{\chi }}{s}}} を用いる。このとき、上の数密度に関する方程式は次のように書き直せる。 d Y d x = − π 45 g ∗ S g ∗ ⟨ σ v ⟩ x 2 [ Y 2 − Y E Q 2 ] {\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=-{\sqrt {\frac {\pi }{45}}}{\frac {g_{*S}}{\sqrt {g_{*}}}}{\frac {\langle \sigma v\rangle }{x^{2}}}\left[Y^{2}-Y_{\mathrm {EQ} }^{2}\right]} ここに g ∗ {\displaystyle g_{*}} , g ∗ S {\displaystyle g_{*S}} は相対論的な粒子の有効自由度である。
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