オイラーの公式を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「オイラーの公式を用いた証明」の解説
三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。（指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）まず sin2 θ + cos2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。 オイラーの公式より 1 = e 0 = e i θ − i θ = e i θ e − i θ = ( cos θ + i sin θ ) ( cos θ − i sin θ ) = sin 2 θ + cos 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}1&=e^{0}=e^{i\theta -i\theta }=e^{i\theta }e^{-i\theta }\\&=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )\\&=\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \end{aligned}}} または sin 2 θ + cos 2 θ = ( e i θ − e − i θ 2 i ) 2 + ( e i θ + e − i θ 2 ) 2 = e 2 i θ + e − 2 i θ − 2 − 4 + e 2 i θ + e − 2 i θ + 2 4 = 4 4 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=\left({\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\right)^{2}+\left({\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {e^{2i\theta }+e^{-2i\theta }-2}{-4}}+{\frac {e^{2i\theta }+e^{-2i\theta }+2}{4}}\\&={\frac {4}{4}}=1\end{aligned}}} もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。 sin 2 θ = ( e i θ − e − i θ 2 i ) 2 = e 2 i θ + e − 2 i θ − 2 − 4 = 1 − cos 2 θ 2 , cos 2 θ = ( e i θ + e − i θ 2 ) 2 = e 2 i θ + e − 2 i θ + 2 4 = 1 + cos 2 θ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta &=\left({\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\right)^{2}\\&={\frac {e^{2i\theta }+e^{-2i\theta }-2}{-4}}\\&={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\ ,\\\cos ^{2}\theta &=\left({\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {e^{2i\theta }+e^{-2i\theta }+2}{4}}\\&={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\ .\end{aligned}}} ∴ sin 2 θ + cos 2 θ = 1. {\displaystyle \therefore \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.} (1) (1) の式はピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity) と呼ばれている。 (1) の時点ですでに単位円上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、本定理の逆は本定理を用いずに証明可能であるし、単位円上の任意の点の座標は (cosθ, sinθ) で表せるからである。 前提とした △ABC について、∠A = θ とおけば a = c ⋅ sin θ {\displaystyle a=c\cdot \sin \theta } b = c ⋅ cos θ {\displaystyle b=c\cdot \cos \theta } したがって a 2 = c 2 sin 2 θ {\displaystyle a^{2}=c^{2}\sin ^{2}\theta } (2) b 2 = c 2 cos 2 θ {\displaystyle b^{2}=c^{2}\cos ^{2}\theta } (3) (2), (3) より a 2 + b 2 = c 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )} (4) (1), (4) より a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} が得られる。
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