指数法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/05 15:32 UTC 版)
指数法則に似た次の法則が下降階乗冪、上昇階乗冪に成り立つ。 x m + n _ = x m _ ( x − m ) n _ x m + n ¯ = x m ¯ ( x + m ) n ¯ ( or ( x ) m + n ∓ = ( x ) m ∓ ( x ∓ m ) n ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\underline {m+n}}&=x^{\underline {m}}\,(x-m)^{\underline {n}}\\x^{\overline {m+n}}&=x^{\overline {m}}\,(x+m)^{\overline {n}}\end{aligned}}\quad ({\text{or }}(x)_{m+n}^{\mp }=(x)_{m}^{\mp }(x\mp m)_{n})} これを用いて、負数の下降階乗冪、上昇階乗冪を定義することもできる。 また、次のような関係もある x n ¯ x m ¯ = { ( x + m ) n − m ¯ ( n > m ) , 1 ( x + m ) m − n ¯ ( m > n ) {\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{x^{\overline {m}}}}={\begin{cases}(x+m)^{\overline {n-m}}&(n>m),\\[5pt]{\dfrac {1}{(x+m)^{\overline {m-n}}}}&(m>n)\end{cases}}}
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指数法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/14 00:51 UTC 版)
以下の一覧表において多重定義の虞を除くため、底は非零実数であるような冪のみを考える。ただし、正の冪のみを考えるならば、底が 0 でも各法則は成り立つ。また以下の一覧において、有理数について分母が奇数あるいは偶数であるというときは、常にその有理数の既約分数表示における分母のことを言っているものとする。 指数法則規則条件 a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} a ≠ 0 は任意 a − r = 1 a r {\displaystyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}} a > 0 ならば r は任意の実数 a < 0 ならば r は分母が奇数の任意の有理数 a m n=a m n=( a n ) m {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}} a> 0 ならば n は任意の自然数で m は任意の整数 a < 0 ならば n は任意の奇数で m は任意の整数 a r + s=a r ⋅ a s {\displaystyle a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}} a> 0 ならば r, s は任意の実数 a < 0 ならば r, s は分母が奇数の任意の有理数 a r − s=a r a s {\displaystyle a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}} a> 0 ならば r, s は任意の実数 a < 0 ならば r, s は分母が奇数の任意の有理数 ( a ⋅ b ) r=a r ⋅ b r {\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}} a • b ≠ 0 ならば r は任意の自然数、あるいは任意の整数 a> 0, b > 0 ならば r は任意の実数 a, b の少なくとも一方が負ならば r は分母が奇数の任意の有理数 ( a b ) r = a r b r {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}} 整数 r に対して、[r ≥ 0 かつ b ≠ 0] または [r ≤ 0 かつ a ≠ 0] のとき a > 0, b > 0 ならば r は任意の実数 a, b の少なくとも一方が負ならば r は分母が奇数の任意の有理数 ( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}} a ≠ 0 ならば r, s は任意の整数 a > 0 ならば r, s は任意の実数 a < 0 ならば r, s は分母が奇数の任意の有理数 ( a r ) s = − a r ⋅ s {\displaystyle (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}} a < 0 かつ有理数 r, s に対して、r および r • s は分母が奇数、かつ r • s の分子が奇数のとき (ar)s = ±ar • s に関して 冪指数 r, s の少なくとも一方が無理数であるとき、あるいはこれらの双方が有理数だが r または r • s の少なくとも一方の分母が偶数となるときには、a < 0 に対する (ar)s または ar • s は定義されない。それ以外のとき、この両者は定義されて符号の違いを除いて一致する。特に両者は a> 0 ならば任意の実数 r, s に対して一致し、また a ≠ 0 ならば任意の整数 r, s に対して一致する。 a < 0 かつ r, s が整数でない有理数であるときには可能性は二通り考えられ、どちらになるかは r の分子と s の分母の素因数分解が関係する。式 (ar)s = ±ar • s の右辺の符号は何れが正しいのかを知るには a = −1 のときを見れば十分である（与えられた r, s に対して a = −1 のとき正しくなる方の符号をとれば、任意の a < 0 についても成り立つ）。 a < 0 に対して (ar)s = −ar • s が適用されるならば、a ≠ 0 に対して (ar)s = |a|r • s が成り立つ（冪指数が正ならば a = 0 のときも成り立つ）。 例えば、((−1)2).mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1⁄2 = 1 および (−1)2 • 1⁄2 = −1 であるから、a < 0 に対して √a2 = (a2)1⁄2 = −a2 • 1⁄2 = −a, したがって任意の実数 a に対して √a2 = |a| が成り立つ。
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指数法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/27 04:07 UTC 版)
セルシック指数 n = 1 のとき、セルシック則は ln I I e = − β 1 ( R R e − 1 ) {\displaystyle \ln {\frac {I}{I_{e}}}=-\beta _{1}\left({\frac {R}{R_{e}}}-1\right)} であり、これは指数法則と呼ばれる。指数法則は円盤銀河の円盤成分の面輝度プロファイルをよく説明する。 ただし、円盤銀河の面輝度分布がバルジと円盤のふたつのセルシック則の重ね合わせからの逸脱することもしばしば観測される。
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