鎖複体 例

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鎖複体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/10 20:14 UTC 版)

例

特異ホモロジー

位相空間 X が与えられたとする。

自然数 n に対し、C_n(X) を X の特異 n-単体により形式的に生成される自由アーベル群とし、バウンダリ写像を次で定義する：

$\partial _{n}\colon C_{n}(X)\to C_{n-1}(X):\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\partial _{n}\sigma =\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma ([v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]).$

ここに、記号ハット（"^"）はその頂点を省くことを表す。すなわち、特異単体の境界は、その面への制限の交代和である。∂² = 0 を示すことができるので、$(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$ は鎖複体である。特異ホモロジー $H_{\bullet }(X)$ はこの複体のホモロジーである。つまり、

$H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/\operatorname {im} \partial _{n+1}$

である。

ド・ラームコホモロジー

滑らかな多様体上の k 次微分形式全体 Ω^k(M) は、加法の下でアーベル群をなす（実は R-ベクトル空間である）。

外微分 d^k は、Ω^k(M) を Ω^k+1(M) へ写像し、d∘d = 0 であることが本質的に二次微分の対称性から従う。よって、k 次微分形式のなすベクトル空間たちに外微分を考えたものは双対鎖複体である：

$0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d^{0}}{\to }}\ \Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{\to }}\ \Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots .$

この複体のコホモロジーが、ド・ラームコホモロジーである：

$H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)=\ker d^{0}=$ { M 上の実数値局所定数関数 } $\cong \mathbb {R}$^{#{M の連結成分}},

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)=\ker d^{k}/\operatorname {im} d^{k-1}.$