鎖複体

索引トップ用語の索引ランキングカテゴリー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/10 20:14 UTC 版)

定義

鎖複体 $(A_{\bullet },d_{\bullet })$ は、アーベル群、あるいは加群の列 ..., A₂, A₁, A₀, A₋₁, A₋₂, ... であり、準同型（境界作用素 (boundary operator) あるいは微分 (differential) と呼ばれる) d_n: A_n → A_n−1 で結ばれ、任意の2つの引き続いた境界作用素の合成は、すべての n について 0 となる (d_n ∘ d_n+1 = 0) ような作用素である。鎖複体は、普通は次のように書かれる。

\cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {d_{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {d_{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {d_{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {d_{2}}}A_{1}{\xrightarrow {d_{1}}}A_{0}{\xrightarrow {d_{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {d_{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {d_{-2}}}\cdots

鎖複体の概念を少し変えたものが、双対鎖複体 (cochain complex) の概念である。双対鎖複体 $(A^{\bullet },d^{\bullet })$ はアーベル群、もしくは加群の列 ..., A⁻², A⁻¹, A⁰, A¹, A², ... であり、準同型 $d^{n}\colon A^{n}\to A^{n+1}$ により結ばれ、2つの連続する写像は、すべての n についてゼロ写像 : $d^{n+1}d^{n}=0$ である。

\cdots \to A^{-2}{\xrightarrow {d^{-2}}}A^{-1}{\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}\to \cdots \to A^{n-1}{\xrightarrow {d^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {d^{n}}}A^{n+1}\to \cdots .

各々の $A_{n}$ あるいは、 $A^{n}$ の添え字 $n$ は、次数 (degree)、あるいは次元と呼ばれる。鎖複体と双対鎖複体の定義の唯一の違いは、鎖複体の場合は、境界作用素が次数を下げることに対し、双対複体の境界作用素は次数を上げることである。つまり、片側にのみ無限に続く複体でなければ、鎖複体と余鎖複体は、形式的には全く同じものである。

ほとんどすべての A_i が 0 である、つまり、有限個を除き、左右に 0 になり延長されている場合を有界鎖複体 (bounded chain complex) という。例として、（有限）単体複体のホモロジー論を定義する複体がある。鎖複体は、ある固定した次数 N より上ですべて 0 であれば上に有界 (bounded above) といい、ある固定した次数より小さいときにすべて 0 となる場合を下に有界 (bounded below) という。明らかに、上にも下にも有界であることと、複体が有界であることとは同値である。

インデックスを省いて、d についての基本的関係は、

dd=0

と考えることができる。鎖複体の個別の群の元を、チェイン (chain)、鎖（コチェイン複体では コチェイン (cochain)）と呼ぶ。鎖複体の場合の d の像をバウンダリ (boundary)、境界輪体、双対鎖複体の場合はコバウンダリ (coboundary)、余境界輪体と呼び、その全体は群をなす。鎖複体の場合 d の核（つまり、d により 0 へ写される元のなす部分群）の元は、サイクル (cycle) 、輪体、双対鎖複体の場合はコサイクル (cocycle)、余輪体と呼ばれる。基本的な関係から、（コ）バウンダリーは（コ）サイクルである。この現象は、（コ）ホモロジーを使い系統的に研究されている。

チェイン写像とテンソル積

チェイン写像（鎖写像）と呼ばれる、鎖複体の間の自然な射の概念がある。2つの複体 M_* と N_* が与えられると、2つの複体の間のチェイン写像は、M_i から N_i への準同型の列であって、M と N のバウンダリ写像に関する図式全体が可換となるものである。チェイン複体とチェイン写像は圏をなす。

V = V_* と W = W_* を鎖複体とすると、それらのテンソル積 $V\otimes W$ は、次数 i の元たちが

(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k}

で与えられ、微分が

\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{|a|}a\otimes \partial b

で与えられる鎖複体である。ここに、a と b はそれぞれ V と W の任意の斉次ベクトルであり、 $|a|$ は a の次数を表す。

このテンソル積により、（任意の可換環 K に対し）K-加群の鎖複体の圏 ${\text{Ch}}_{K}$ は対称モノイダル圏（英語版）となる。このモノイダル積についての単位対象は、次数 0 の鎖複体と見た基礎環 K である。ブレイディング（英語版）は、斉次元の単純なテンソル上

a\otimes b\mapsto (-1)^{|a||b|}b\otimes a

により与えられる。符号はブレイディングがチェイン写像となるために必要である。さらに、K-加群の鎖複体の圏は、内部Homも持つ。鎖複体 V と W が与えられると、V と W の内部Hom, hom(V,W) は、次数 n の元が $\Pi _{i}\operatorname {Hom} _{K}(V_{i},W_{i+n})$ により与えられ、微分が