線型近似
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例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の n = 1 の場合により、
と表せる。R2は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした
となる。この近似は x が a に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の f のグラフの (a, f(a)) における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。
をaにおけるfの標準線型近似といい、x=a をセンターという。
線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。
右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。
さらに一般に、バナッハ空間においては
と表される。ここで Df(a) は f の a におけるフレシェ微分である。
例
線型近似を用いて 
の近似値を求めてみよう。
という関数を考える。この関数について f(25) を求めればよい。- 微分すると
である。 - 線型近似により
となる。 - 小数に直すとおよそ2.926であるが、これは確かに真の値2.924…に近い。
関連項目
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「線型近似」の続きの解説一覧
- 1 線型近似とは
- 2 線型近似の概要
線型近似と同じ種類の言葉
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