有理関数 例

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有理関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/06 17:09 UTC 版)

例

3次の有理関数の例：
$y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

次の有理関数

$f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

は、分母の零点である $x^{2}=5$ なる $x$ 、すなわち $x=\pm {\sqrt {5}}$ においては定義されない。なお、この有理関数は、 $x\to \infty$ で ${\frac {x}{2}}$ に漸近する（直線 $y={\frac {x}{2}}$が漸近線）。

また次の有理関数

$f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$

は全ての実数について定義されているが、全ての複素数については定義されていない。これもやはり $x=\pm i$ が分母の零点となっているからであり、その2点が定義域から除かれる。

自明な例としては、$f(x)=x^{2}+1$ 等の多項式関数も有理関数に含まれる。これは分子が2次の多項式 $x^{2}+1$ 、分母は0次の多項式 1 であるとみなせる。 さらに自明な例として、他に $f(x)=\pi$ 等の定数関数も有理関数に含まれる。これは分子が0次の多項式 $\pi$ 、分母も0次の多項式 1 であるとみなせる。 ここで注意すべきは、 $\pi$ が無理数であることと、上の $f$ が有理関数であることは両立する点である。「関数が有理関数である/ない」という概念と、「返り値が有理数である/ない」という概念を混同してはならない。