放物線 物理学的な導出

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放物線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/29 10:22 UTC 版)

物理学的な導出

初速 v, 角度 θ で初期の高さ y₀ から投げ出した物体の描く曲線

質量 m の物体を斜めに投射するとき、投げ出されたあとの物体に掛かる力は、空気抵抗の存在しない理想的な状況下では下向きに掛かる重力 mg のみ（g は重力加速度）である。したがって、運動方程式 F = ma から、物体の加速度は

${\boldsymbol {a}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\-g\end{bmatrix}}$

となる。初速が ${\boldsymbol {v}}_{0}=(v_{x}(0),v_{y}(0))^{T}=v_{0}(\cos \theta ,\sin \theta )^{T}(v=|{\boldsymbol {v}}|)$ であるならば、積分して

${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}={\boldsymbol {v}}(0)+\int _{0}^{t}{\boldsymbol {a}}\,dt={\begin{bmatrix}v_{0}\cos \theta \\v_{0}\sin \theta -gt\end{bmatrix}}$

となり、初期位置を r₀ = (0, y₀) にとると、さらに積分して

${\boldsymbol {r}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\int _{0}^{t}{\boldsymbol {v}}\,dt={\begin{bmatrix}v_{0}t\cos \theta \\y_{0}+v_{0}t\sin \theta -gt^{2}/2\end{bmatrix}}$

が時刻 t における物体の位置である。t を消去すれば、適当な定数 a, b, c によって

$y=ax^{2}+bx+c$

の形に書くことができる。