完全系列 完全系列の概要

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完全系列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/17 05:10 UTC 版)

定義

R 加群 X_i と写像 f_i: X_i → X_i+1 (i ∈ Z) からなる（有限または無限）系列

${\displaystyle \cdots \to X_{n-1}{\stackrel {f_{n-1}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n}{\stackrel {f_{n}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n+1}\to \cdots }$

において、${\displaystyle {\rm {Im\,}}f_{n-1}={\rm {Ker}}\,f_{n}}$ となるとき、系列は X_n において完全（exact）であるという。特に、次の事実が成り立つ^[1]：

• 系列 ${\displaystyle 0\xrightarrow {} M'\xrightarrow {f} M}$ が完全であることは、f が単射であることと同値。
• 系列 ${\displaystyle M\xrightarrow {g} M''\xrightarrow {} 0}$ が完全であることは、g が全射であることと同値。
• 系列 ${\displaystyle 0\xrightarrow {} M'\xrightarrow {f} M\xrightarrow {g} M''\xrightarrow {} 0}$ が完全であることは、f が単射かつ g が全射であり、さらに g が同型 ${\displaystyle M/f(M')\xrightarrow {\simeq } M''}$ を誘導することと同値。

系列がすべての R 加群 X_i において完全であるとき、その系列を完全系列（exact sequence）と呼び、

${\displaystyle \cdots \to X_{n-1}{\stackrel {f_{n-1}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n}{\stackrel {f_{n}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n+1}\to \cdots \quad {\text{(exact)}}}$

などと表記する。なお、系列が X_n において完全であるならば、その定義から明らかに

${\displaystyle f_{n}\circ f_{n-1}(x)=0_{n+1}\;\;\forall \,x\in X_{n-1}}$ （ただし、${\displaystyle 0_{n+1}}$ は ${\displaystyle X_{n+1}}$ の零元）

が成り立つ（逆は一般に成り立たない）。

例

例えば、アーベル群の系列

${\displaystyle 0\hookrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {f}{{}\hookrightarrow {}}}\mathbb {Z} {\stackrel {p}{{}\twoheadrightarrow {}}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \twoheadrightarrow 0}$

で、f: Z → Z が 2 倍写像 (x → 2x), p を標準射影とすると、これは完全である。実際、2x = 0 となる x は 0 であり、かつ 0 に限られる（f は単射である）ので 0 → Z は完全である。また、f, p はアーベル群の準同型で、im(f) = 2Z = ker(p) であることは明らかである。最後に Z/2Z → 0 は Z/2Z の全ての元を 0 とする準同型で、その核は Z/2Z 全体となるが、p は全射であるからこれも完全である。

一般に、考えているアーベル圏における零対象を 0 であらわすとき、

${\displaystyle 0\to A{\stackrel {f}{{}\to {}}}B,\quad A{\stackrel {g}{{}\to {}}}B\to 0}$

が完全であることはそれぞれ f が単射、g が全射であることと同値である。f: A → B がアーベル圏の射（たとえば群の圏における群準同型、加群の圏における準同型など）であるとき

${\displaystyle 0\to \ker f\to A{\stackrel {f}{{}\to {}}}B\to \mathrm {coker\,} f\to 0}$

は完全列である。

1 を単位群とし、群 G に対し、Aut(G) をその自己同型群、Z(G) を中心、Inn(G) を内部自己同型群、Out(G) = Aut(G)/Inn(G) を外部自己同型群とすると

${\displaystyle 1\to Z(G)\hookrightarrow G{\stackrel {\text{Ad}}{{}\to {}}}\mathrm {Aut\,} G\twoheadrightarrow \mathrm {Out\,} G\to 1}$

なる完全列を得る。