像 (数学) 基本的な結果

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像 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/03 10:16 UTC 版)

基本的な結果

写像 f: X → Y と X の任意の部分集合 A, A₁, A₂ および Y の任意の部分集合 B, B₁, B₂ に関して

• f(A₁ ∪ A₂) = f(A₁) ∪ f(A₂)
• f(A₁ ∩ A₂) ⊆ f(A₁) ∩ f(A₂)
• f ⁻¹(B₁ ∪ B₂) = f ⁻¹(B₁) ∪ f ⁻¹(B₂)
• f ⁻¹(B₁ ∩ B₂) = f ⁻¹(B₁) ∩ f ⁻¹(B₂)
• f(A) ⊆ B ⇔ A ⊆  f ⁻¹(B)
• f(f ⁻¹(B)) ⊆ B
• f ⁻¹(f(A)) ⊇ A
• A₁ ⊆ A₂ ⇒ f(A₁) ⊆ f(A₂)
• B₁ ⊆ B₂ ⇒ f ⁻¹(B₁) ⊆ f ⁻¹(B₂)
• f ⁻¹(B^C) = (f ⁻¹(B))^C
• (f |_A)⁻¹(B) = A ∩ f ⁻¹(B).

などが成立する。像や逆像に関するこの結果は、任意の部分集合族に対して交わりと結びに関するブール代数をうまく考えることができることを意味しており、部分集合の対だけでなくもっと一般に

• $f\!\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
• $f\!\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
• $f^{-1}\!\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(A_{s})$
• $f^{-1}\!\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(A_{s})$

なども成立する。ここで S は無限集合でも（もちろん非可算無限でも）よい。

これらのことから、部分集合のブール代数に関して、逆像は束準同型となるが像のほうは半束準同型にしかならない（像は交わりを保つとは限らない）ことがわかる。