像 (数学) 例

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像 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/03 10:16 UTC 版)

例

単位円のΨ_Mによる像としてのマンデルブロ集合の境界。

単位円の像としての心臓形（カージオイド）。

単位円の像としてのハート型曲線。

1. 写像 f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d} を $f(1)=f(2)=a,\ f(3)=c$ で定義されるものとする。
   部分集合 {2, 3} の f による像は f({2, 3}) = {a, c} となる。また、元 a の逆像は f⁻¹({a}) = {1, 2} であり、{a, b} の逆像も同じく {1, 2} となる。{b, d} の逆像は空集合 {} になる。
2. 写像 f: R → R を f(x) = x² で定義されるものとする。
   部分集合 {-2, 3} の f による像は f({-2, 3}) = {4, 9} であり、写像 f の像は非負実数全体 R₊ である。一方 {4, 9} の f による逆像は f⁻¹({4, 9}) = {-3, -2, 2, 3} であり、また負の実数の平方根は実数の範囲には存在しないから、N = {n ∈ R | n < 0} の f による逆像は空集合である。
3. 写像 f: R² → R を f(x, y) = x² + y² で定義されるものとする。
   ファイバー f⁻¹({a}) は（a > 0, a = 0, a < 0 に従ってそれぞれ）原点を中心とする同心円、原点、空集合になる。
4. M が可微分多様体で π: TM → M が接束 TM から M への標準射影ならば、点 x ∈ M 上の π に関するファイバーは x における接空間 T_x(M) である。これはファイバー束の例にもなっている。