倍加時間 倍加時間の概要

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倍加時間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/03 07:11 UTC 版)

倍加時間は、2の自然対数を、増加率の冪指数で割ることで求められる。あるいは、パーセントで表した増加率の数値で70を割ると概算値が求められる。さらに大まかな値を求めるのに、70の代わりに約数の多い72を使う方法が良く知られており、「72の法則」と呼ばれている。

倍加時間は指数関数的増加方程式の特性単位（英語版）であり、倍加時間の逆の指数関数的減衰に対する同種の値が半減期である。

例えば、2006年のカナダの年間の人口増加率は0.9%であり、70を0.9で割るとおおよその倍加時間である78年が求められる。ここから、人口増加率が変わらない場合、2006年のときの3300万人から、78年後の2084年には倍の6600万人になることになる。

歴史

倍加時間という概念は、バビロニア数学において金の貸し借りに関する計算で現れる。紀元前2000年頃の粘土板に、「月に1/60の利率（複利なし）を与えたとき、倍加時間を求めよ」という演習が含まれている。この場合、年間の利率は12/60 = 20%であり、複利なしなので倍加時間は100/20で5年となる^{[1] [2]}。この時代には、借りた額の2倍の額を一定期間後に返済するのが一般的な商慣習であった。紀元前1900年のアッシリアの一般的な金貸しは、2ミナの重さの金を借りて5年後に4ミナを返すというものだった^[1]し、この時代のエジプトの諺に「富が利子のあるところに置かれれば、それは倍になって戻ってくる」というものがある^[1][3]。

説明

単に成長率のパーセンテージを見るよりも、倍加時間を見る方が、長期的な成長の影響をより直感的に理解することができる。

単位時間あたりの成長率がr%の固定値であるとき、倍加時間T_dは以下の式で求められる。

${\displaystyle T_{d}={\frac {\log(2)}{\log(1+{\frac {r}{100}})}}}$

指数関数的増加（太線）・指数関数的減衰（細線）の倍増時間・半減期を比較するグラフ