位相 複素数による表現

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位相

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/13 08:30 UTC 版)

複素数による表現

時間領域における複素数の正弦波は、次のように表現される。

$Y(t)=Ae^{{\mathit {i}}\,(\omega t+\alpha )}$　　　　　　　（1）

ここで、$e$は自然対数の底（ネイピア数）、${\mathit {i}}$ は虚数単位、Aは振幅、$\omega$は角周波数、$\alpha$は位相である。

オイラーの公式（ $e^{{\mathit {i}}\,\theta }=\cos \theta +{\mathit {i}}\sin \theta$ ）より

$Ae^{{\mathit {i}}\,(\omega t+\alpha )}=A\cos(\omega t+\alpha )+{\mathit {i}}A\sin(\omega t+\alpha )$　　　　　　　（2）

が成り立つ。このように、式（1）の実部と虚部は実数の正弦波である。

式（2）は、複素平面上で時間ｔの経過とともに、原点を中心とする半径Aの円周上を等速で回転する。それを複素平面の実軸へ正射影したものは $A\cos(\omega t+\alpha )$ であり、虚軸へ正射影したものは $A\sin(\omega t+\alpha )$ である。