ヴィーンの放射法則ヴィーンの放射法則の概要

温度 8 mK の黒体のヴィーン、プランク、レイリーの3式の比較

内容

ヴィーンの放射法則によれば、熱力学温度 $T$ の熱平衡にある黒体の輻射による波長 $λ$ で表した放射発散度のスペクトルは

$R_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}\,\mathrm {e} ^{-c_{2}/\lambda T}$

で与えられる^[2]。ここで係数 $c 1, c 2$ はそれぞれ第一放射定数、第二放射定数と呼ばれる。波長 $λ$ と周波数 $ν$ の関係 $ν = c / λ$ （ $c$ は光速度）と

$\int _{0}^{\infty }R_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }R_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu$

を用いれば、周波数 $ν$ で表したスペクトルは

$R_{\nu }(\nu ,T)={\frac {c_{1}\nu ^{3}}{c^{4}}}\,\mathrm {e} ^{-(c_{2}/c)\nu /T}$

となる^[3]。

分光放射輝度で表せば、波長で表したスペクトルは

$L_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {1}{\pi }}R(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}\,\mathrm {e} ^{-c_{2}/\lambda T}$

となり、周波数で表したスペクトルは

$L_{\nu }(\nu ,T)={\frac {c_{1L}\nu ^{3}}{c^{4}}}\,\mathrm {e} ^{-(c_{2}/c)\nu /T}$

となる。

性質

ヴィーンの放射法則による分光発散度は

$R(\lambda ,T)={\frac {1}{\lambda ^{5}}}f(\lambda T)$

の形をしている。長波長（低周波数）領域におけるスペクトルの精度の高い近似を与える理論式として、レイリー卿によるレイリー・ジーンズの法則が用いられる^[2]^[3]。レイリーの公式は $f (x)= αx$ の場合として含まれている。

分光発散度を波長で偏微分すると

${\frac {\partial R}{\partial \lambda }}={\frac {T}{\lambda ^{5}}}f'(\lambda T)-{\frac {5}{\lambda ^{6}}}f(\lambda T)={\frac {1}{\lambda ^{6}}}\{(\lambda T)\,f'(\lambda T)-5f(\lambda T)\}$

となる。分光発散度を最大となる波長 $λ max$ は関数 $xf' (x) - 5 f (x)$ の適当な零点 $x = b$ によって

$\lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}$

と表される。ヴィーンの公式では $b = c 2 /5$ となってヴィーンの変位則を説明することができる。しかし、レイリーの公式では $x >0$ において零点を持たず、ヴィーンの変位則を説明できない。

分光発散度を波長 $λ$ で積分した放射発散度は

$R(T)=\int _{0}^{\infty }R(\lambda ,T)\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda ^{5}}}f(\lambda T)\,d\lambda =T^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x^{5}}}f(x)\,dx$