フレドホルム核 p-総和可能な核

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フレドホルム核

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/15 01:39 UTC 版)

p-総和可能な核

フレドホルム核は、

$\sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p}<\infty$

が成立するとき、p-総和可能（p-summable）であると言われる。

フレドホルム核は、それが p-総和可能であるようなすべての $0<p\leq 1$ についての下限が q であるとき、次数 q であると言われる。

バナッハ空間上の核作用素

作用素 ${\mathcal {L}}:B\to B$ は、${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{X}$ であるような $X\in B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B$ が存在するとき、核作用素であると言われる。そのような作用素が p-総和可能あるいは次数 q であるとは、X がそれらの性質を満たすことを言う。一般的に、そのような核作用素の対応する核 X は唯一つであるとは限らない。したがって、そのトレースは一意には定まらない。しかし、次数が $q\leq 2/3$ を満たすなら、そのトレースは一意に定まる。これはグロタンディークの定理によるものである。

グロタンディークの定理

${\mathcal {L}}:B\to B$ をある作用素とする。その次数が $q\leq 2/3$ を満たすなら、そのトレースは

${\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}$

のように定義されうる。ここで、$\rho _{i}$ は ${\mathcal {L}}$ の固有値とする。また、そのフレドホルム行列式は、z の整関数

$\det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)$

である。関係式

$\det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)$

も同様に成立する。最後に、${\mathcal {L}}$ がある複素数値パラメータ w によって関連付けらなら、すなわち、${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}$ であり、そのパラメータ付けがある領域上で正則であるなら、

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}$

も同じ領域上で正則となる。