フレドホルム核 フレドホルム核の概要

ウィキペディア

フレドホルム核

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/15 01:39 UTC 版)

定義

B を任意のバナッハ空間とし、B^* をその双対空間、すなわち、B 上の有界線型汎函数からなる空間とする。テンソル積 $B^{*}\otimes B$ には、ノルム

$\Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert$

の下での完備化が存在する。但しここで、上式の下限は、すべての有限な表現

$X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}e_{i}\in B^{*}\otimes B$

に関して取られるものとする。

そのようなノルムの下での完備化は、しばしば

$B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B$

のように記述され、射影位相テンソル積と呼ばれる。この空間の元が、フレドホルム核と呼ばれる。

性質

すべてのフレドホルム核は、次のような形式で表現することが出来る：

$X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}$

ここで $e_{i}\in B$ および $e_{i}^{*}\in B^{*}$ は $\Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1$ を満たすようなものであり、

$\sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty \,$

が成立している。

そのような核に対応するものは、正準表現

${\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)\otimes e_{i}\,$

の存在する線型作用素

${\mathcal {L}}_{X}:B\to B$

である。

すべてのフレドホルム核に対応するものは、

${\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i})\,$

で定義される、トレースである。