ノイマン級数 ノイマン級数の概要

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ノイマン級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/21 15:42 UTC 版)

定義

A をバナッハ空間 X での有界な線形作用素とする（A ∈ B(X)）。このとき、A の作用素ノルム ||A|| が ||A|| < 1 を満たすならば、恒等作用素 I との差で与えられる I − A は1対1で (I − A)⁻¹ が有界作用素として存在するとともに、

${\displaystyle {\begin{aligned}(I-A)^{-1}&=I+A+A^{2}+A^{3}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}\end{aligned}}}$

が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは

${\displaystyle \|(I-A)^{-1}\|\leq {\frac {1}{1-\|A\|}}}$

と評価される。

これは、|x| < 1 なる x ∈ C についての等比級数

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }$

の作用素への拡張になっている。

特に z ∈ C と有界作用素 A について、|z| > ||A|| であれば、レゾルベント作用素 (zI − A)⁻¹ が存在し、

${\displaystyle (zI-A)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{n+1}}}A^{n}}$

および

${\displaystyle \|(zI-A)^{-1}\|\leq {\frac {1}{|z|}}{\frac {1}{1-{\frac {\|A\|}{|z|}}}}}$

が成り立つ。

逐次近似との関係

バナッハ空間 X の元u、v と線形作用素 A で与えられる方程式

${\displaystyle u=Au+v\,}$

を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は

${\displaystyle (I-A)u=v\,}$

と変形できることから、逆作用素 (I − A)⁻¹ が存在し、それが求まれば、問題は解ける。 一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=A(Au+v)+v\\&=A^{2}(Au+v)+Av+v\\&=v+Av+\cdots +A^{n}v+A^{n+1}u\end{aligned}}}$

となる。従って、Aⁿ⁺¹u の項が無視できるとすると

${\displaystyle u_{n}:=\sum _{i=0}^{n}A^{i}v}$

で定義される u_n が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n → ∞ で逐次近似解 u_n が真の解となり、

${\displaystyle u=(I-A)^{-1}v=v+Av+A^{2}v+\cdots }$

となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解 u_n の誤差評価を行うこともでき、

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq \sum _{i=n+1}^{\infty }\|A\|^{i}\cdot \|v\|={\frac {\|A\|^{n+1}}{1-\|A\|}}\|v\|}$

である。