ネーター環 次元

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ネーター環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/28 05:23 UTC 版)

次元

可換環 A の素イデアル P に対して、真の減少列

$P=P_{0}\supsetneq P_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq P_{r}$

の長さを r と定める。P で始まる素イデアルの真の減少列の長さの最大値を P の高さ (height) といい、ht P で表す。また、A の素とは限らないイデアル I に対しては、その高さ ht I を I を含む素イデアルの高さの最小値と定める。A がネーター環であるならば、クルルの主イデアル定理 (Krull's principal ideal theorem)によって任意の素イデアルの高さは有限である。ネーター環 A のクルル次元（Krull dimension）を、P が A の素イデアル全体を動くときの ht P の最大値と定義する。ネーター環の次元は、A の素イデアルの真の上昇列の長さ（これは、ネーター環の定義から有限）の最大値と一致する。ネーター環のクルル次元は常に有限になるとは限らない。