ディンキン図形

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/17 01:16 UTC 版)

有限ディンキン図形

頂点が 1 から 9 の有限ディンキン図形
階数	古典型リー群（英語版）				例外型リー群
階数	$A 1+$	$B 2+$	$C 2+$	$D 2+$	$E 3-8$ （英語版）	$G 2$ （英語版） / $F 4$ （英語版）
1	A₁
2	A₂	B₂	C₂ = B₂	D₂ = A₁xA₁		G₂
3	A₃	B₃	C₃	D₃ = A₃	E₃ = A₂xA₁
4	A₄	B₄	C₄	D₄	E₄ = A₄	F₄
5	A₅	B₅	C₅	D₅	E₅ = D₅
6	A₆	B₆	C₆	D₆	E₆
7	A₇	B₇	C₇	D₇	E₇
8	A₈	B₈	C₈	D₈	E₈
9	A₉	B₉	C₉	D₉
10+	..	..	..	..

アファインディンキン図形

詳細は「アファインルート系」を参照

ディンキン図形の拡張、すなわちアファインディンキン図形が存在する；これらはアファインリー環のカルタン行列を分類する。これらは (Kac 1994, Chapter 4, pp. 47–) において分類され、特に (Kac 1994, pp. 53–55) にリストされている。アファイン図形は $X (1) l, X (2) l, X (3) l$ と書かれる、ただし $X$ は対応する有限図形の文字で、指数はアファイン図形のどの列にそれらが入っているかに依存する。これらの第一、 $X (1) l$ は、もっとも一般的で、拡大ディンキン図形 (extended Dynkin diagram) と呼ばれ、チルダで表され、時には右上に $+$ の記号をつけることもある^[14]、例えば ${\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}$

以下が頂点の個数が10個までのアファイン群に対するディンキングラフのすべてである。拡大ディンキングラフは、上の有限グラフに1つの頂点を加えた ~ 族として与えられる。他の有向グラフの変種は、位数の高い群の folding を表す値が (2) か (3) の上付き添え字とともに与えられる。これらは「twistedアファイン」図形とカテゴライズされる^[15]。

頂点が 2 から 10 までの連結アファインディンキングラフ
（無向グラフでグループ分けしている）
階数	${\tilde {A}}_{1+}$		${A}_{2}^{(2)}$
3	${\tilde {A}}_{2}$		${\tilde {C}}_{2}$		${\tilde {G}}_{2}$
4	${\tilde {A}}_{3}$	${\tilde {B}}_{3}$	${\tilde {C}}_{3}$
5	${\tilde {A}}_{4}$	${\tilde {B}}_{4}$	${\tilde {C}}_{4}$	${\tilde {D}}_{4}$	${\tilde {F}}_{4}$
6	${\tilde {A}}_{5}$	${\tilde {B}}_{5}$	${\tilde {C}}_{5}$	${\tilde {D}}_{5}$
7	${\tilde {A}}_{6}$	${\tilde {B}}_{6}$ ${A}_{11}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{6}$ ${D}_{9}^{(2)}$ ${A}_{12}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{6}$	${\tilde {E}}_{6}$
8	${\tilde {A}}_{7}$	${\tilde {B}}_{7}$	${\tilde {C}}_{7}$ ${D}_{10}^{(2)}$ ${A}_{14}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{7}$	${\tilde {E}}_{7}$
9	${\tilde {A}}_{8}$	${\tilde {B}}_{8}$ ${A}_{15}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{8}$ ${D}_{11}^{(2)}$ ${A}_{16}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{8}$	${\tilde {E}}_{8}$
10	${\tilde {A}}_{9}$	${\tilde {B}}_{9}$ ${A}_{17}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{9}$ ${D}_{12}^{(2)}$ ${A}_{18}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{9}$
11	...	...	...	...

双曲型および高次のディンキン図形

コンパクトおよび非コンパクトな双曲ディンキングラフはすべて列挙されている^[16]。階数 3 の双曲グラフはすべてコンパクトである。コンパクト双曲ディンキン図形は階数 5 まで存在し、非コンパクト双曲グラフは階数 10 まで存在する。

要約
階数	コンパクト	非コンパクト	計
3	31	93	123
4	3	50	53
5	1	21	22
6	0	22	22
7	0	4	4
8	0	5	5
9	0	5	5
10	0	4	4

コンパクト双曲ディンキン図形

コンパクト双曲グラフ
階数 3		階数 4	階数 5
線型グラフ (6 4 2): H₁₀₀⁽³⁾: H₁₀₁⁽³⁾: H₁₀₅⁽³⁾: H₁₀₆⁽³⁾: (6 6 2): H₁₁₄⁽³⁾: H₁₁₅⁽³⁾: H₁₁₆⁽³⁾:	巡回グラフ (4 3 3): H₁⁽³⁾: (4 4 3): 3 forms... (4 4 4): 2 forms... (6 3 3): H₃⁽³⁾: (6 4 3): 4 forms... (6 4 4): 4 forms... (6 6 3): 3 forms... (6 6 4): 4 forms... (6 6 6): 2 forms...	(4 3 3 3): H₈⁽⁴⁾: H₁₃⁽⁴⁾: (4 3 4 3): H₁₄⁽⁴⁾:	(4 3 3 3 3): H₇⁽⁵⁾:

非コンパクト (Over-extended forms)

M理論のように理論物理学において用いられるいくつかの表記は拡大群に対し "~" の代わりに "+" の上付き添え字を用い、これにより higher extensions groups が定義できる。

Extended ディンキン図形（アファイン）は "+" で与えられ1つの付け加えられた頂点を表す（"~" と同じ）。
Over-extended ディンキン図形（双曲）は "^" あるいは "++" で与えられ、2つの付け加えられた頂点を表す。
Very-extended ディンキン図形で3つの頂点が付け加えられたものは "+++" で与えられる。

Over-extended（双曲）ディンキン図形のいくつかの例
階数	AE_n = A_n−2^{(1)^}	BE_n = B_n−2^{(1)^} CE_n	C_n−2^{(1)^}	DE_n = D_n−2^{(1)^}	E / F / G
3	AE₃:
4	AE₄:		C₂^{(1)^} A₄^{(2)'^} A₄^{(2)^} D₃^{(2)^}		G₂^{(1)^} D₄^{(3)^}
5	AE₅:	BE₅ CE₅	C₃^{(1)^} A₆^{(2)^} A₆^{(2)'^} D₅^{(2)^}
6	AE₆	BE₆ CE₆	C₄^{(1)^} A₈^{(2)^} A₈^{(2)'^} D₇^{(2)^}	DE₆	F₄^{(1)^} E₆^{(2)^}
7	AE₇	BE₇ CE₇		DE₇
8	AE₈	BE₈ CE₈		DE₈	E₆^{(1)^}
9	AE₉	BE₉ CE₉		DE₉	E₇^{(1)^}
10		BE₁₀ CE₁₀		DE₁₀	E₁₀ = E₈^{(1)^}

238個の双曲群（コンパクト・非コンパクト）

階数 $n \geq 3$ の238個の（コンパクトおよび非コンパクト）双曲群は $H (n) i$ と名付けられ、各階数に対して $i = 1, 2, 3, ...$ とリストされている。

Very-extended

Very-extended 群はローレンツ群であり、有限群に3つの頂点を加えることで定義される。E₈, E₇, E₆, F₄, G₂ は very-extended 群で終わる6つの列を提供する。示されていない他の extended series は各 $n$ に対して異なる列として A_n, B_n, C_n, D_n から定義できる。付随するカルタン行列の行列式は列がどこで有限（正）からアファイン（零）から非コンパクト双曲群（負）に変わるかを決定し、1つの時間的（英語版）次元を用いて定義できるローレンツ群として終わり、M理論において用いられる^[17]。

階数 2 の extended series
有限	$A 2$	$C 2$	$G 2$ （英語版）
2	A₂	C₂	G₂
3	A₂⁺= ${\tilde {A}}_{2}$	C₂⁺= ${\tilde {C}}_{2}$	G₂⁺= ${\tilde {G}}_{2}$
4	A₂⁺⁺	C₂⁺⁺	G₂⁺⁺
5	A₂⁺⁺⁺	C₂⁺⁺⁺	G₂⁺⁺⁺
Det(M_n)	3(3 − n)	2(3 − n)	3 − n

階数 3 と 4 の extended series
有限	$A 3$	$B 3$	$C 3$	$A 4$	$B 4$	$C 4$	$D 4$	$F 4$ （英語版）
2		A₁²						A₂
3	A₃	B₃	C₃		B₂A₁		A₁³
4	A₃⁺= ${\tilde {A}}_{3}$	B₃⁺= ${\tilde {B}}_{3}$	C₃⁺= ${\tilde {C}}_{3}$	A₄	B₄	C₄	D₄	F₄
5	A₃⁺⁺	B₃⁺⁺	C₃⁺⁺	A₄⁺= ${\tilde {A}}_{4}$	B₄⁺= ${\tilde {B}}_{4}$	C₄⁺= ${\tilde {C}}_{4}$	D₄⁺= ${\tilde {D}}_{4}$	F₄⁺= ${\tilde {F}}_{4}$
6	A₃⁺⁺⁺	B₃⁺⁺⁺	C₃⁺⁺⁺	A₄⁺⁺	B₄⁺⁺	C₄⁺⁺	D₄⁺⁺	F₄⁺⁺
7				A₄⁺⁺⁺	B₄⁺⁺⁺	C₄⁺⁺⁺	D₄⁺⁺⁺	F₄⁺⁺⁺
Det(M_n)	4(4 − n)	2(4 − n)		5(5 − n)	2(5 − n)		4(5 − n)	5 − n

階数 5 と 6 の extended series
有限	$A 5$	$B 5$	$D 5$	$A 6$	$B 6$	$D 6$	$E 6$
4		B₃A₁	A₃A₁				A₂²
5	A₅		D₅		B₄A₁	D₄A₁	A₅
6	A₅⁺= ${\tilde {A}}_{5}$	B₅⁺= ${\tilde {B}}_{5}$	D₅⁺= ${\tilde {D}}_{5}$	A₆	B₆	D₆	E₆
7	A₅⁺⁺	B₅⁺⁺	D₅⁺⁺	A₆⁺= ${\tilde {A}}_{6}$	B₆⁺= ${\tilde {B}}_{6}$	D₆⁺= ${\tilde {D}}_{6}$	E₆⁺= ${\tilde {E}}_{6}$
8	A₅⁺⁺⁺	B₅⁺⁺⁺	D₅⁺⁺⁺	A₆⁺⁺	B₆⁺⁺	D₆⁺⁺	E₆⁺⁺
9				A₆⁺⁺⁺	B₆⁺⁺⁺	D₆⁺⁺⁺	E₆⁺⁺⁺
Det(M_n)	6(6 − n)	2(6 − n)	4(6 − n)	7(7 − n)	2(7 − n)	4(7 − n)	3(7 − n)

階数 7 以上のいくつかの extended series
有限	A₇	B₇	D₇	E₇	E₈
3					E₃=A₂A₁
4				A₃A₁	E₄=A₄
5				A₅	E₅=D₅
6		B₅A₁	D₅A₁	D₆	E₆
7	A₇	B₇	D₇	E₇	E₇
8	A₇⁺= ${\tilde {A}}_{7}$	B₇⁺= ${\tilde {B}}_{7}$	D₇⁺= ${\tilde {D}}_{7}$	E₇⁺= ${\tilde {E}}_{7}$	E₈
9	A₇⁺⁺	B₇⁺⁺	D₇⁺⁺	E₇⁺⁺	E₉=E₈⁺= ${\tilde {E}}_{8}$
10	A₇⁺⁺⁺	B₇⁺⁺⁺	D₇⁺⁺⁺	E₇⁺⁺⁺	E₁₀=E₈⁺⁺
11					E₁₁=E₈⁺⁺⁺
Det(M_n)	8(8 − n)	2(8 − n)	4(8 − n)	2(8 − n)	9 − n

脚注

注

^ この節では明確にするために一般のクラスを「コクセター・ディンキン図形」ではなく「コクセター図形」と呼ぶ。混乱の可能性が大きく、また簡潔のためである。
^ Stekloshchik の矢印の向きはこの記事とは逆であることに注意。

出典

^ Baez, John (April 13, 1998), This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 119)
^ Fulton & Harris 1991, Proposition D.40.
^ ^a ^b ^c Outer automorphisms of simple Lie Algebras
^ & Humphreys 1972, Section 16.5.
^ Jacobson 1971, section 7.
^ Algebraic geometry and number theory: in honor of Vladimir Drinfeld's 50th Birthday, edited by Victor Ginzburg, p. 47, section 3.6: Cluster folding
^ ^a ^b Folding by Automorphisms, John Stembridge, 4pp., 79K, 20 August 2008, Other Articles by John Stembridge
^ これらの foldings の絵と文献については次を参照：(Stekolshchik 2008, p. 102, remark 5.4).
^ Zuber, Jean-Bernard. Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding. pp. 28–30.
^ ^a ^b Transformations of Dynkin Diagrams, John Armstrong, March 5, 2010
^ ^a ^b (Knapp 2002, p. 758)
^ ^a ^b ^c Why are the Dynkin diagrams E6, E7 and E8 always drawn the way they are drawn?
^ Notes on Coxeter Transformations and the McKay correspondence, Rafael Stekolshchik, 2005, Section 2.1 The Cartan matrix and its Tits form p. 27. [1]
^ 例えば次を参照: Reflection groups and Coxeter groups, by James E. Humphreys, p. 96
^ [2] Infinite dimensional Lie algebras, Victor Kac
^ Carbone, L, Chung, S, Cobbs, C, McRae, R, Nandi, D, Naqvi, Y, and Penta, D: Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits, J. Phys. A: Math. Theor. 43 155209, 2010, arXiv:1003.0564
^ The symmetry of M-theories, Francois Englert, Laurent Houart, Anne Taormina and Peter West, 2003