ディンキン図形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/17 01:16 UTC 版)
Simply laced
多重辺を持たないディンキン図形、および対応するリー環やリー群は、simply laced と呼ばれる。これらは An, Dn, En 図形であり、そのような図形が分類する現象は ADE 分類と呼ばれる。この場合ディンキン図形は、多重辺を持たないから、コクセター図形とちょうど一致する。
佐武図形
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ディンキン図形は「複素」半単純リー環を分類する。実半単純リー環は複素半単純リー環の実形として分類でき、これらは佐武図形によって分類され、これらはディンキン図形から、あるルールに従って、いくつかの頂点を黒でラベル付け、いくつかの他の頂点を対で矢印で結ぶことによって、得られる。
歴史
ディンキン図形はイェヴゲニ・ディンキンに因んで名づけられており、彼はそれを2つの論文 (1946, 1947) で用いて、半単純リー環の分類を簡素化した[11]；(Dynkin 2000) を参照。ディンキンがソビエト連邦を1976年に去った時、当時それは反逆と同等と考えられており、ソビエトの数学者は彼の名前を用いずに「単純ルートの図形」と呼ぶよう指示された[要出典]。
無向グラフは早くにコクセター (1934) によって鏡映群を分類するために用いられていた、ここで頂点は単純鏡映に対応する；グラフはヴィット (1941) によって（長さの情報とともに）ルート系に関連して頂点が単純ルートと対応するよう今日用いられているように用いられた[11][12]。ディンキンはそれらを1946年と1947年に用い、1947年の論文でコクセターとヴィットに謝意を表した。
慣習
ディンキン図形はいくつかの方法で描かれる[12]；ここで従う慣習は一般的で、価数 2 の頂点の角度は 180° で、Dn の価数3の頂点の角度は 120° で、En の価数 3 の頂点の角度は 90°/90°/180° で、多重度は 1, 2, 3 本の平行な辺で表され、ルートの長さは辺に向き付けの矢印を描くことで表す。簡単のためだけではなく、この慣習のさらなる利点は、図形自己同型が図形のユークリッド等長同型によって実現されることである。
別の慣習には、多重度を表すのに辺のそばに数を書くもの（コクセター図形で一般に用いられる）、ルート長を表すのに頂点を黒く塗るもの、価数 2 の頂点の角度を 120° にして頂点をより異ならせるものがある。
頂点の番号付けにも慣習がある。最も一般的な現代の慣習は1960年代に発展し、(Bourbaki 1968) に描かれている[12]。
注
出典
- ^ Baez, John (April 13, 1998), This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 119)
- ^ Fulton & Harris 1991, Proposition D.40.
- ^ a b c Outer automorphisms of simple Lie Algebras
- ^ & Humphreys 1972, Section 16.5.
- ^ Jacobson 1971, section 7.
- ^ Algebraic geometry and number theory: in honor of Vladimir Drinfeld's 50th Birthday, edited by Victor Ginzburg, p. 47, section 3.6: Cluster folding
- ^ a b Folding by Automorphisms, John Stembridge, 4pp., 79K, 20 August 2008, Other Articles by John Stembridge
- ^ これらの foldings の絵と文献については次を参照：(Stekolshchik 2008, p. 102, remark 5.4).
- ^ Zuber, Jean-Bernard. Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding. pp. 28–30.
- ^ a b Transformations of Dynkin Diagrams, John Armstrong, March 5, 2010
- ^ a b (Knapp 2002, p. 758)
- ^ a b c Why are the Dynkin diagrams E6, E7 and E8 always drawn the way they are drawn?
- ^ Notes on Coxeter Transformations and the McKay correspondence, Rafael Stekolshchik, 2005, Section 2.1 The Cartan matrix and its Tits form p. 27. [1]
- ^ 例えば次を参照: Reflection groups and Coxeter groups, by James E. Humphreys, p. 96
- ^ [2] Infinite dimensional Lie algebras, Victor Kac
- ^ Carbone, L, Chung, S, Cobbs, C, McRae, R, Nandi, D, Naqvi, Y, and Penta, D: Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits, J. Phys. A: Math. Theor. 43 155209, 2010, arXiv:1003.0564
- ^ The symmetry of M-theories, Francois Englert, Laurent Houart, Anne Taormina and Peter West, 2003
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