ディンキン族

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ディンキン族

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 09:40 UTC 版)

数学において、ディンキン族（ディンキンぞく、Dynkin system）あるいは λ-族とは、ある集合の部分集合の族であって、測度と親和性の良いいくつかの条件を満たすものである。

定義

集合 X 上のディンキン族とは、X の部分集合の族 ${\mathcal {D}}$ であって、以下の条件を満たすものをいう：

• X は ${\mathcal {D}}$ の元である。
• A₁, A₂, ... が単調増大な ${\mathcal {D}}$ の元の列ならば、それらの和集合 $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ も ${\mathcal {D}}$ の元である。
• A, B が ${\mathcal {D}}$ の元で A ⊃ B が成立するならば、それらの差集合 $A\setminus B$ も ${\mathcal {D}}$ の元である。

ディンキン族定理

集合 X の部分集合族 ${\mathcal {A}}$ が

$A,B\in {\mathcal {A}}\implies A\cap B\in {\mathcal {A}}$

を満たすならば、 ${\mathcal {A}}$ を含む最小のディンキン族は ${\mathcal {A}}$ を含む最小の完全加法族に一致する。これをディンキン族定理という。