カジュダン–ルスティック多項式

索引トップランキングカテゴリー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/21 03:00 UTC 版)

他の表現論的対象への一般化

カジュダン・ルスティックの第2の論文において、カジュダン・ルスティック多項式の幾何学的な、すなわち旗多様体中のシューベルト多様体の特異点の幾何を用いた定義が与えられた。ルスティックのその後の多くの研究において、特異点を持つような代数多様体の中で表現論において自然に現れるような多様体、特に冪零軌道（英語版）や箙多様体（英語版）の文脈においても、カジュダン・ルスティック多項式の類似物を発見した。それらの研究によって、量子群、モジュラーリー代数（英語版）、アフィンヘッケ環（英語版）の表現論は、カジュダン・ルスティック多項式の類似物によって精密に統制されていることがわかった。それらの多項式は初等的に定義されるものの、表現論において必要となる深い性質は、例えば交叉コホモロジーや偏屈層（英語版）、ベイリンソン・ベルンシュタイン・ドリーニュの分解定理のように、洗練された現代的な代数幾何やホモロジー代数の手法から導かれる。

また、カジュダン・ルスティック多項式の係数は、ゾーゲル両側加群のなす圏の中におけるある射の空間の次元に一致すると予想されている。この予想は、任意のコクセター群に対してカジュダン・ルスティック多項式の係数の意味づけを与えるという点では、現在知られている唯一のものである。

組合せ論

カジュダン・ルスティック多項式やその一般化の持つ組合せ論的な性質は現在も活発に研究されている。

表現論や代数幾何におけるカジュダン・ルスティック多項式の重要性に鑑み、カジュダン・ルスティック多項式の理論を純組合せ論的に、すなわち旗多様体の幾何学的考察を用いることはあっても、交叉コホモロジーなどの高級な道具を用いることなしに理解するいくつかの試みがなされている。この試みは、代数的組合せ論において、シューベルト多様体の特異性を組合せ論的に記述し、カジュダン・ルスティック多項式の係数に関する評価を与える pattern-avoidance phenomenon のような興味深い発展を導いた。Björner & Brenti (2005) や Billey & Lakshmibai (2000) を参照。

2005年現在、カジュダン・ルスティック多項式の係数すべてを（何らかの自然な集合の濃度の形で）組合せ論的に解釈する方法は、対称群の場合においてさえ知られていない。しかし、多くの特殊な場合において係数に対する具体的な公式は知られている。

参考文献

Beilinson, Alexandre; Bernstein, Joseph (1981), Localisation de g-modules, Sér. I Math., 292, Paris: C. R. Acad. Sci., pp. 15–18 .
Beilinson, Alexandre; Bernstein, Joseph (1993), A proof of the Jantzen conjectures, Advances in Soviet Mathematics, 16, pp. 1–50 .
Billey, Sara; Lakshmibai, V. (2000), Singular loci of Schubert varieties, Progress in Mathematics, 182, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4092-4 .
Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), “Ch. 5: Kazhdan–Lusztig and R-polynomials”, Combinatorics of Coxeter Groups, Graduate Texts in Mathematics, 231, Springer, ISBN 978-3-540-44238-7 .
Brenti, Francesco (2003), “Kazhdan-Lusztig Polynomials: History, Problems, and Combinatorial Invariance”, Séminaire Lotharingien de Combinatoire (Ellwangen: Haus Schönenberg) 49: Research article B49b .
Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (October 1981), “Kazhdan-Lusztig conjecture and holonomic systems”, Inventiones Mathematicae (Springer-Verlag) 64 (3): 387–410, doi:10.1007/BF01389272, ISSN 0020-9910 .
Kashiwara, M. (1990), “The Kazhdan-Lusztig conjecture for symmetrizable KacMoody algebras”, The Grothendieck Festschrift, II, Progress in Mathem., 87, Boston: Birkhauser, pp. 407–433, MR 93a:17026 .
Kazhdan, David; Lusztig, George (June 1979), “Representations of Coxeter groups and Hecke algebras”, Inventiones Mathematicae (Springer-Verlag) 53 (2): 165–184, doi:10.1007/BF01390031, ISSN 0020-9910 .
Kazhdan, David; Lusztig, George (1980a), “A topological approach to Springer's representations”, Advances in Mathematics 38 (2): 222–228, doi:10.1016/0001-8708(80)90005-5 .
Kazhdan, David; Lusztig, George (1980b), “Schubert varieties and Poincaré duality”, Proc. Sympos. Pure Math. (American Mathematical Society) XXXVI: 185–203 .
Lusztig, George; Vogan, David (1983), “Singularities of closures of K-orbits on flag manifolds.”, Inventiones Mathematicae (Springer-Verlag) 71 (2): 365–379, doi:10.1007/BF01389103, ISSN 0020-9910 .
Polo, Patrick (1999), “Construction of arbitrary Kazhdan-Lusztig polynomials in symmetric groups”, Representation Theory. an Electronic Journal of the American Mathematical Society 3 (4): 90–104, doi:10.1090/S1088-4165-99-00074-6, ISSN 1088-4165, MR 1698201 .
Soergel, Wolfgang (2006), “Kazhdan-Lusztig polynomials and indecomposable bimodules over polynomial rings”, Journal of the Inst. of Math. Jussieu 6 (3): 501–525 .